Bachiller

Geometría Métrica Plana
* Ejercicios Resueltos –

1. Dada la ecuación de la recta: 2x-48=y+3-2
* Halla un vector director de la recta y un punto por el que pasa.
* Expresa la ecuación en forma general
* Expresa la ecuación en forma punto pendiente
* Expresa la ecuación en forma explícita

Primero reducimos la ecuación a: x-24=y+3-2
Como en estaecuación los denominadores corresponden con ux y uy:
ux = 4
uy = -2
Vector director (u): (4, -2)
Como en esta ecuación los términos independientes del numerador coinciden con x0, y0:
Punto por el que pasa (A): (2, -3)

* Formageneral: -2x-2-4y+3

* Punto pendiente:
y-y0 =mx-x0

* Explícita

2. Dada la ecuación de la recta 2x+y-4=0

* Expresa la ecuación en forma explícita
* Expresa la ecuación en forma punto pendiente
* Expresa la ecuación en forma continua

Primero deberemos hallar un v. director y un p. pasa
Vector director (u): (-1, 2)
Punto por el quepasa (A): (2, -3)

* Forma explícita:

* Sustituyendo:

* Punto Pendiente:

* Continua:

3. Dado el triangulo de vértices A (1,1), B (3,5) y C (5,2), se pide:
a) Dar en forma continua las ecuaciones de la recta que contienen a los lados.
b) Dar en forma general o implícita la altura sobre el lado “a”.
c) Expresar en forma paramétrica la mediana sobre el lado “b”.
A(1,1)
d) Dar en forma punto pendiente la mediatriz del lado “c”.

a) Ecuación Lado a
Punto por el que pasa B (3,5)
Vector director = (5-3,2-5) = (2,-3)
C (5,2)
B (3,5)
x-x0ux=y-y0uy → x-32=y-5-3

Ecuación Lado b
Punto por el que pasa A (1,1)
Vector director = (5-1,2-1) = (4,1)
x-x0ux=y-y0uy → x-14=y-11
Ecuación Lado c
Punto por el que pasa A (1,1)
Vector director = (3-1,5-1) =(2,4) = (1,2)
x-x0ux=y-y0uy → x-11=y-12
Altura sobre el lado a
b) Vector director PARA CONSEGUIR UN VECTOR PERPENDICULAR A UNO DADO, COMO SU PRODUCTO ESCALAR DEBE SER CERO, INTERCAMBIAMOS LAS COMPONENTES Y EL SIGNO A UNA DE ELLAS.
= (2,-3) = ( 3,2)

Punto por el que pasa A (1,1) x-13=y-12→ 2x-2=3y-3
2x-3y+1=0

c) Mediana sobre “b”
M.p.m ; M =(1+52,1+22) =( 3 , 32 )
Vector director = (3-3,5-32)=(0,72)
Punto por el que pasa (3,5)
x = x0 + λux x = 3
y = y0 + λuY y = 5+72λ

d) Mediatriz lado “c”
Pm m = (2,3)
Vector director

(-2,1) Punto por el que pasa m (2,3)
M = pendiente uyux ⇒ -12
y - y0 = m (x - x0) ⇒ y - 3 = -12 (x-2)

4. En el problema anterior explica razonadamente como se podríacalcular el área de un triángulo, calcular el otrocentro y el centro de gravedad del triangulo
Formamos un sistema con la ecuación de la recta que contiene la altura y con la ecuación de la recta con lado A, la solución del sistema nos da P.

Altura │AP│
Base | BC | y el área es base por altura partido por dos.
Ortocentro: Para calcularlo como ya tenemos la ecuación de la alturasobre el lado A, calculamos la altura del lado B, la resolución del sistema formado por ambas ecuaciones dará el ortocentro.
Vector director

Pasa por B (3,5)
4x-12=-y+5 4x+y-17=0
Para calcular el centro de gravedad, la mediana sobre b ya la conocemos , trazamos otra mediana, hacemos por ejemplo la mediana sobre sobre C. La intersección es el baricentro.
Mediana sobre el lado c
Puntomedio de BA (2,3)
Mc x-23=y-3-1 -> 5x-6y+1=0

Explicación. No hace falta más que darse cuenta de que si x es siempre 3 en una de las medianas, el baricentro tiene que tener de abcisa x = 3, por lo tanto sustituimos la x por 3 en 5x-6y+1= 0 y nos da y
G (3, )
Comprobación: El baricentro por ser el centro de gravedad del triángulo cumple que:
;
En nuestro caso:

5....