BACHILLER

1

NÚMEROS REALES

Página 26
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
El número áureo
Para hallar la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular, da los siguientes pasos:
B

a) Demuestra que los triángulos BED y BCF son semejantes.

A

Recordamos los ángulos de un pentágono:

C
F
E
D

360°
180° – 72°
α=
= 72°; β =
= 54°; 2β = 108°
5
2

β

1º
.
β

α
2β108°

2º
.

γ

γ

γ=

γ

180° – 108°
= 36°
2

γ

B

^

3º
.

B = 108° – 2 · 36° = 36°
36°

^

^

E=D=

E

180° – 36°
= 72°
2

D
B
γ
36°

Sabíamos que γ = 36°.
El triángulo BEC es idéntico al BED :
^

F

C

^

^

^

C = E = D = 72° ⇒ F = 72°

Luego los dos triángulos tienen sus ángulos iguales ⇒ son semejantes.

Unidad 1. Númerosreales

1

B

b) Llamando l = BE = BD = EC y tomando como unidad el

A
1

lado del pentágono, BC = BF = ED = EF = 1, a partir de
la semejanza anterior has de llegar a la siguiente ecuación:
l = 1
1
l–1

C
F
E
D

Despejando l obtendrás su valor.
—
—
BD
ED
l = 1 .
— = — , es decir:
BC
FC
1
l–1

Por ser semejantes (apartado a)) ⇒
Despejamos l :

l (l – 1) = 1 ⇒ l2 – l – 1 = 0 ⇒ l =

1 ± √1 + 4
1 ± √5
=
2
2

Como l es una longitud, la solución válida es la positiva:
l=

1 + √5
. Este es el número áureo, Φ
2

Página 27
El rectángulo áureo
A

M

D

N

El rectángulo adjunto tiene la peculiaridad de que
si le suprimimos un cuadrado, el rectángulo que
queda, MBCN, es semejante al rectángulo inicial
ABCD. Comprueba que, efectivamente,en tal caso,
el rectángulo es áureo, es decir:

B

C

AB
= Φ (número de oro)
AD

Tomamos como unidad el lado pequeño del rectángulo: AD = BC = 1, y llamamos
x = MB = NC . Así:
A

1

M

1

x

1

B

1
x

D

1

N

Al ser semejantes los rectángulos, tenemos que:

C
1+x
1
=
1
x

Despejamos x :
x (1 + x) = 1 ⇒ x 2 + x – 1 = 0 → x =

Unidad 1. Númerosreales

–1 ± √ 1 + 4
–1 ± √ 5
=
2
2

2

Como x es una longitud, la solución válida es la positiva:
x=

–1 + √ 5
2

Hallamos la razón entre los lados del rectángulo:
—
AB
–1 + √ 5
2 – 1 + √5
1 + √5
1+x
=1+x=1+
=
=
=Φ
— =
2
2
2
1
AD
Obtenemos el número de oro.

Página 29
1. Halla gráficamente √6 y √13 .
2
1

—
√6
—
√5

—
√13

1
2

3

2. Inventa dosnúmeros irracionales dados en forma decimal.
Por ejemplo: 2,01001000100001 …
3,122333444455555 …
3. Razonando sobre la figura del margen, CONSTRUCCIÓN
que si AB = AC = 1, entonces BD = Φ.

DEL NÚMERO ÁUREO,

justifica

1
• Si AC = 1, entonces OA = OC = OD = .
2
1
• Si OA =
y AB = 1, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:
2
OB =

√

1
1 + — = √5
2
4

√5 = 1 + √5 = Φ1
• Por tanto: BD = OD + OB =
+
2
2
2

Página 31
1. Representa los siguientes conjuntos:
b) [4, + ∞)

a) (–3, –1)

a)
c)

–3
0

b)

–1 0
3

Unidad 1. Números reales

d) (– ∞, 0)

c) (3, 9]

6

9

d)

0

4
0

3

2. Representa los siguientes conjuntos:
a) { x /–2 ≤ x < 5}

b) [–2, 5) U (5, 7]

c) (– ∞, 0) U (3, +∞)

d) (– ∞, 1) U (1, + ∞)

a)–2

0

c)

b)

5

0

–2

0

d)

3

5

7

0 1

Página 32
1. Halla los siguientes valores absolutos:
a) |–11|

b) |π|

c) |– √5 |

d) |0|

e) |3 – π|

f) |3 – √2 |

g) |1 – √2 |

h) | √2 – √3 |

i) |7 – √50 |

a) 11

b) π

c) √5

d) 0

e) π – 3

f) |3 – √2 | = 3 – √2

g) |1 – √2 | = √2 – 1

h) | √2 – √3 | = √3 – √2

i) |7 – √50 | = √50 –7

2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
a) |x| = 5

b) |x| ≤ 5

c) |x – 4| = 2

d) |x – 4| ≤ 2

e) |x – 4| > 2

f ) |x + 4| > 5

a) 5 y –5

b) – 5 ≤ x ≤ 5; [–5, 5]

c) 6 y 2

d) 2 ≤ x ≤ 6; [2, 6]

e) x < 2 o x > 6; (–∞, 2) U (6, +∞)

f) x < – 9 o x > 1; (–∞, –9) U (1, +∞)

Página 33
1. Simplifica:
12

b) √x 8

12

6

e)...