bachillerato

Ecuaciones Cuadr´ ticas
a
Carlos Torres N.
www.edumate.wordpress.com
donde a, b, c ∈ R ∧a = 0.
Por otro lado, su forma reducida es :

e

Si he llegado al lugar donde estoy es
porque he subido a hombros de gigantes. Issac Newton

1.

Introducci´ n
o

at

x2 + nx + m = 0

Asimismo, se presentan otros ejemplos de ecuaciones cuadr´ ticas:
a

L

um

estudio de lasecuaciones es tan antigua como la invenci´ n de los primeros
o
conocimientos matem´ ticos. Los rastros m´ s ana
a
tiguos que los especialistas en la historia de la
matem´ tica se˜ alan se ubican en la cultura Baa
n
bil´ nica [2].
o

E

3y 2 − 7y + 12 = 0
√ 2
2x + 0,5 = 0

2.1.

M´ todos de resoluci´ n
e
o

Ed

´
Se tiene conocimiento de que la invenci´ n de algeo
bra literal sedebi´ , en gran parte, a la notaci´ n
o
o
e
usada por el matem´ tico italiano Gerolamo Car- Existen diversos m´ todos que nos ayudan a rea
o
e
a
dano, quien uso por primera vez la letra x para solver una ecuaci´ n. Entre los m´ todos m´ s
usuales tenemos:
denotar a las variables.
Asimismo, las variables eran llamadas indeterminadas; actualmente algunos autores siguen manteniendo estadenominaci´ n.
o

2.

1. M´ todo por factorizaci´ n.
e
o
2. M´ todo por f´ rmula general.
e
o

2.1.1.

Ecuaci´ n cuadr´ tica
o
a

M´ todo por factorizaci´ n
e
o

En este caso, utilizaremos los diversos m´ todos de
e
Generalmente se presenta las ecuaciones factorizaci´ n para resolver una ecuaci´ n.
o
o
cuadr´ ticas de inc´ gnita x en su forma poli- Por ejemplo, utilizamos elm´ todo del aspa simple
a
o
e
nomial [1] siguiente:
para resolver la siguiente ecuaci´ n:
o
ax2 + bx + c = 0

x2 + 6x + 8 = 0

(1)
1

2.1

M´ todos de resoluci´ n
e
o

Soluci´ n:
o
2.1.2. F´ rmula general
o
Aplicando el m´ todo del aspa simple, obtenemos
e
los factores correspondientes:
De (1) encontraremos la f´ rmula para hallar las
o
ra´ces de la ecuacion polin´mica cuadr´ tica. Para
ı
o
a
ese fin, despejamos x de la forma siguiente:
(x + 4)(x + 2) = 0
Dividimos a (1) por a,
Ahora, aplicando el teorema de n´ meros reales:
u

c
b
x2 + x + = 0
a
a

∀a, b ∈ R se cumple que a.b = 0 ⇔ a = 0∨b = 0

x2 + 2

x+

Finalmente, el conjunto soluci´ n de la ecuaci´ n
o
o
es:

1

um

C.S. = {−4, −2}

Aqu´ debemos hacer una aclaraci´ n.Soluci´ n de una
ı
o
o
ecuaci´ n en general se refiere al valor num´ rico que verifica
o
e
la igualdad. Por otro lado, hablaremos de ra´z cuando trabaı
jemos ecuaciones polin´ micas.
o
Ahora bien, en algunos casos, estrictamente en las ecuaciones polin´ micas, puede suceder que las soluciones coo
incidan con las ra´ces; o que haya dos ra´ces de igual valor
ı
ı
´
pero s´ lo una soluci´n. En este ultimo caso, se˜ alaremos
o
o
n
que existe una ra´z de multiplicidad 2.
ı
En general, en una ecuaci´ n polinomial se cumple
o

Ed

b
2a

b2
b2
c
− 2 + =0
4a2 4a
a

x+

at

x1 = −4 y x2 = −2

Ahora, completando cuadrados tenemos

e

Tenemos que las dos ra´ces (o dos soluciones, en
ı
1
este caso) de la ecuaci´ n son:
o

N o soluciones ≤ N o ra´
ıcesLa igualdad se cumple cuando todas las ra´ces son simples
ı
(se repiten una sola vez). De ah´ que toda ra´z es soluci´ n y
ı
ı
o
viceversa.
Por ejemplo: La ecuaci´ n
o

b
a

b
x+
2a

x+

2

+

b2
c
− 2 =0
a 4a

+

4ac
b2
− 2 =0
4a2 4a

2

b
2a

2

=

b2 − 4ac
4a2

A continuaci´ n, sacando ra´z cuadrada a cada
o
ı
miembro de la igualdad
b
x+
2ax+

2

b
=
2a

=

b2 − 4ac
4a2
b2 − 4ac
4a2

De est´ ultimo resultado, se desprenden dos iguale´
dades en funci´ n de la definici´ n del valor absoo
o
(x + 3)(x − 1)(x − 2) = 0
luto
√
posee como ra´ces a −3, 1, 2. Asimismo, se observa que toı
b
b2 − 4ac
das las ra´ces son simples; en consecuencia, −3, 1, 2 ser´ n
ı
a
x+
=±
2a
2a
soluciones de la ecuaci´ n.
o
Por...