bases y dimenciones

I.6. BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL 
  
 
ANTECEDENTES
Con el último resultado del apartado anterior podemos concluir que en cualquier subespacio vectorial W siempre podemos encontrar un sistema de generadores cuyos vectores sean linealmente independientes. Esta característica además permite deducir que el número de vectores de un conjunto de vectores de V linealmenteindependientes, no puede ser superior al número de vectores precisos para generar V es decir
                {nº máximo de vectores l.i. en V} {nº mínimo de vectores precisos para generar V} 
  
 
Reflexionemos sobre la siguiente cuestión. 
 
¿Cuántos vectores pueden ser como máximo l.i. en R3?
¿Cuántos vectores son precisos como mínimo para generar R3?
Contestando a estas cuestiones obtendríamos unaintuición concreta de la idea que acabamos de reseñar. 
  
 
Pero vamos a ahondar en esta cuestión estudiando de qué forma se representan los elementos de un vector de W a partir de un sistema de generadores de W. 
  
 
Ejemplo
Sea W={(x,y,z)/x+y+z=0}
Los conjuntos de vectores
                G1={(-1,1,0),(-1,0,1)} y G2={(-1,1,0),(-1,0,1),(-2,1,1)}
son ambos sistemas de generadores deW. (Se puede comprobar con DERIVE)
Mientras que G1 es un conjunto L.I. pues si efectuamos en DERIVE:

Por otro lado G2 es L.D. ya que si efectuamos:


Al ser dos sistemas de generadores, cualquier vector del subespacio se podrá expresar como combinación lineal de cada uno de los vectores del conjunto. Tomemos un vector cualquier del subespacio, por ejemplo (3,0,-3). 
 
¿Cuál será lacombinación lineal de vectores de G1 para obtener el vector (3,0,-3)?
Utilicemos DERIVE. Para resolver esta cuestión debemos plantear la ecuación vectorial

que al simplificar nos da el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas siguiente:

cuya solución es

Por tanto el vector (3,0,-3) se representaría a través de G1 mediante la combinación lineal que toma como valores (0,3).
¿Cuál será lacombinación lineal de vectores de G2 para obtener el vector (3,0,-3)?
Si usamos DERIVE, plantearemos la ecuación

que al simplificar nos da el sistema

cuya solución es

Por tanto, en este caso tenemos infinitas combinaciones lineales, por ejemplo podríamos decir que
con @2=1
                        (3,0,-3) = (-1,1,0)-2(-1,0,1)-(-2,1,1)
con @2=2
                        (3,0,-3) =2(-1,1,0)-(-1,0,1)-(-2,1,1)
y así sucesivamente. 
 
¿Por qué se dá esta diferencia entre dos sistemas de generadores que generan el mismo subespacio?
    La respuesta es bien sencilla:
Un vector de un subespacio vectorial W se genera de FORMA ÚNICA por sistemas de generadores de W que sean L.I.; y por el contrario existen infinitas formas de generar un vector del subespacio W mediante sistemasde generadores de W que sean L.D.
Practiquemos más sobre estas cuestiones mediante el siguiente ejercicio: 
 
Ejercicio I.27
Dado el subespacio vectorial 
        a) Obtener dos sistemas de generadores de W uno L.I. G1 y otro L.D. G2
         b) Obtener la combinación o combinaciónes lineales de vectores de G1 y G2 necesarias para obtener el vector (0,1,2,-1) de W. 
 
Por tanto resultaríamuy interesante tomar sistemas de generadores linealmente independientes de un subespacio vectorial W, ya que estos conjuntos de vectores determinan de FORMA UNÍVOCA cualquier vector del subespacio. Por este motivo se introduce el concepto de BASE DE UN SUBESPACIO VECTORIAL. 
  
 
Definición BASE DE UN SUBESPACIO VECTORIAL
Sea un conjunto de vectores del subespacio vectorial W.
Diremos que Bes una BASE de este subespacio vectorial si y sólo si:
        1) B es un SISTEMA DE GENERADORES de W
        2) B es un conjunto LINEALMENTE INDEPENDIENTE. 
 
Si observamos el ejemplo anterior el primer conjunto G1 es una base del subespacio vectorial W pues es un sistema de generadores de W y además los vectores son l.i.
Ejercicio I.28
Encontrar una base B del subespacio vectorial

y...