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REVISTA MATEMATICA de la
Universidad Complutense de Madrid
Volumen 5, número]; 992

Conos de Luz
JAVIER LAFUENTE LÓPEZ

ABSTRACT. Using a new characterization of 11w Lorentz quadries, we establish a
reformulation of the .S’pecial Re¡ativity Theory.
O.

RESUMEN

Un punto central de una figura Fde un espacio proyectivo E, es un punto
c, que es centro de simetría de F respecto a algunarestricción afín de E, y
cada recta que pasa por c corta a Fen exactamente dos puntos.
En la primera parte del trabajo, se caracteriza a las cuádricas de Lorentz,
como las únicas figuras cerradas del espacio proyectivo cuyo conjunto de
puntos centrales tiene interior no vacío.
En la segunda parte, se hace
tricos de la cinemática clásica de
anterior permite reformular el
Especial, yobtener el espacio de
relativista.
1.

una breve incursión a los modelos geomépartículas, para mostrar cómo el resultado
Principio Fundamental de la Relatividad
Minkowski como modelo de la cinemática

INTRODUCCION

Se denomina punto interior de una cuádrica ji de un espacio proyectivo
real E (de dimensión n =2)a un punto pEE desde el cual no puede trazarse
una recta tangente a ji. El punto pse denomina exterior a g si no es interior,

1991 Mathemmatics Subject Classiflcation: 83A05, 51B20.
EdiloTial Complutense. Madrid, 1992.

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Javier Lafuente

ni pertenece a la cuádrica. Denotamos por im p al conjunto de puntos de la
cuádrica, y por mt ji (ext ji) al conjunto de puntos interiores (exteriores).
Los conjuntos mt ji, im ji, y ext ji inducen una partición del conjunto depuntos de E que se corresponde con la clasificación subordinada por el grupo
GP (E, ji) de transformaciones proyectivas que dejan invariante la cuádrica,
al actuar sobre los puntos de E.
Seprueba que si ji es una cuádrica de E con puntos interiores (es decir, mt
ji # 0) entonces respecto a un sistema de coordenadas homogéneas [xi]
adecuadamente elegido, las ecuaciones de ji son de la forma:cxg+~x2—o
1=1

(cz±1)

Cuando c = 1, la cuádrica se llama euclídea, y el conjunto de puntos
interiores, mt ji coincide con E, mientras queim ji=ext ji=O
Cuando c=—l, la cuádrica se llama de Lorentz. Una cuádrica ji de
Lorentz puede, por tanto, caracterizarse por las condiciones mt ~ # 0 y ext
ji#0(que equivalen a mt ji#0, e im p#O). Se tiene el siguiente resultado.

Lerna 1.1 ([4] vol4 pág 73)

Si ji es una cuódrica de Loreniz y pEE, entonces:
E/punto p es interior a ji siy sólo st cada rectaproyectiva que pasapor
p, coria al conjunto de puntos de la cuódrica, im ji en exactamente dos puntos
distintos a, b.
.~

•1

U

j

Por otra parte, si p-1- denoto al Jn»erplano po/ande ,p respecto a ~t
entonces p, AqpJ, a, b son puntos armónicamente separados, es decir:
Enparticular se tiene que la razón simple (p:a: b) en la’ recta afín
A— Aflp-1- es igual a —1, y, por tanto, p es centro de simetría de im ji en el
espacío afín E-p’. Se llega así a la siguiente conclusión:
-

Proposición 1.2

Si ji es una cuádrica de Loreníz, entonces el conjunto £‘ = im ji es
cerrado, y verWca .ta s~guieni’e propiedad para todo p ~ Mt ji:

Conos de luz

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(1)Cada recta proyectiva A que pasa por p corta a
dos puntos.

en exactamente

(2) Existe H hiperpiano de E tal que p es centro de simetría de g en el
espacio afin E-II..
El conjunto ~ es entonces un cono de luz, según la siguiente definicion:

Definición 1.3:
Sea

£~ un

Cono de luz

subconjunto no vacío de un espacío proyectivo E.

a) Un punto pEE, se llama punto central de 51’, si:1) Cada recta que pasa por p corta a
distintos.

5=’ n
e

exactamente dos puntos

2) Existe un hiperpíano H de E deforma que p es centro de simetría
dell” en el espacio afin E-H. Se denomina a H hiperpíano central dep.
b) Se dice que51’ es un cono de luz, si es cerrado, y el conjunto §2) de sus
puntos centrales tiene interior no vacío.
El propósito de este articulo es demostrar el...