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Capítulo 2

Variable Estadística Bidimensional
2.1 Distribución de Frecuencias Bidimensional

Sea una población de n individuos donde estudiamos, simultáneamente, dos variables X e Y . Sean x1 , x2 , . . . , xk las modalidades de X e y1 , y2, . . . , yp las modalidades de Y . La distribución de frecuencias bidimensional de estas dos variables se presenta mediante una tabla de doble entradaX\Y x1 x2 . . . xi . . . xk n.j

y1 n11 n21 . . . ni1 . . . nk1 n.1

y2 n12 n22 . . . ni2 . . . nk2 n.2

... ... ... ... ... ... ... ... 1

yj n1j n2j . . . nij . . . nkj n.j

... ... ... ... ... ... ... ...

yp n1p n2p . . . nip . . . nkp n.p

ni. n1. n2. . . . ni. . . . nk. n

2

Variable Estadística Bidimensional

2.1.1

Frecuencias Absolutas

Se define la frecuenciaabsoluta correspondiente a la pareja de valores (xi , yj ) como nij = número de individuos que presenta la modalidad xi de X e yj de Y para i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , p. Claramente, se verifica que n=
p k XX

nij

i=1 j=1

2.1.2

Frecuencias Relativas

Se define la frecuencia relativa correspondiente a la pareja de valores (xi , yj ) como fij = proporción de individuos que presentanij = n la modalidad xi de X e yj de Y

para i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , p. Claramente, se verifica que 1=
p k XX

fij

i=1 j=1

2.2

Distribuciones Marginales

Las distribuciones marginales corresponden al estudio, por separado, de cada una de las dos variables que componen una variable estadística bidimensional. Cada distribución marginal será, por tanto, una distribuciónunidimensional y, consecuentemente, se le podrá aplicar cualquiera de los resultados estudiados en el Capítulo 2.

2.2.1

Distribución Marginal de X

Es la distribución de todas las observaciones de X independientemente de las de Y . Se obtiene sumando, para cada xi , las frecuencias correspondientes a todos los valores de

Distribuciones Marginales

3

Y , es decir X x1 x2 . . . xi . . . xkni. n1. n2. . . . ni. . . . nk. n donde, para cada i = 1, . . . , k, ni. =
p X

fi. f1. f2. . . . fi. . . . fk. 1

nij = ni1 + ni2 + . . . + nip

j=1

se denomina Frecuencia Marginal Absoluta de xi , y ni. X = fi. = fij n j=1 se denomina Frecuencia Marginal Relativa de xi . Se verifica que
k X i=1 k X i=1 p

ni. = n,

fi. = 1.

• Media Marginal de X x= ¯
k X i=1

fi. xi =

k 1X ni. xi n i=1

• Varianza Marginal de X V ar (X) =
k X i=1

¯ fi. (xi − x)2 =

k X i=1

¯ fi. x2 − x2 i

4

Variable Estadística Bidimensional

2.2.2

Distribución Marginal de Y

Es la distribución de todas las observaciones de Y independientemente de las de X, se obtiene sumando, para cada yj , las frecuencias correspondientes a todos los valores de X, es decir Y y1 y2 . . .yj . . . yp donde, para cada j = 1, . . . , p, n.j =
k X i=1

n.j n.1 n.2 . . . n.j . . . n.p n

f.j f.1 f.2 . . . f.j . . . f.p 1

nij = n1j + n2j + . . . + nkj

se denomina Frecuencia Marginal Absoluta de yj , y
k X n.j = fij f.j = n i=1

se denomina Frecuencia Marginal Relativa de yj . Se verifica que
p X

n.j = n,

j=1

j=1

p X

f.j = 1.

• Media Marginal de Y y= ¯ •Varianza Marginal de Y V ar (Y ) =

j=1

p X

f.j yj =

p 1 X n.j yj n j=1

j=1

p X

¯ f.j (yj − y )2 =

j=1

p X

2 ¯ f.j yj − y 2

Distribuciones Condicionadas

5

2.3

Distribuciones Condicionadas

Las distribuciones condicionadas corresponden al estudio de una variable cuando la otra toma presenta, exactamente, un valor concreto. Cada distribución condicionadaserá, por tanto, una distribución unidimensional y, consecuentemente, se le podrá aplicar cualquiera de los resultados estudiados en el Capítulo 2.

2.3.1

Distribución Condicionada de X a Y = yj

Para cada j = 1, . . . , p fijo, la distribución de X condicionada a Y = yj es la distribución de la variable X restringida a los individuos que presentan modalidad yj de Y , es decir X/Y = yj x1...