Besel

TEMA III: FUNCIONES DE BESSEL

1.

Las funciones de Bessel de orden natural

La ecuaci´n diferencial de Bessel de orden ν , viene representada por
o
y+

1
ν2
y + (1 − 2 )y = 0
x
x

o bien
x2 y + xy + (x2 − ν 2 )y = 0
donde x ∈ R y ν ∈ R (podr´ ser x, ν ∈ C)
ıa
Comenzaremos estudiando una soluci´n de la ecuaci´n de Bessel para ν ∈ N
o
o
x2 y + xy + (x2 − n2 )y = 0 ,

(n =0, 1, 2, 3, ...)

(1.1)

∞

La funci´n Jn (x) =
o

(−1)k ( x )n+2k
2
es soluci´n de la ecuaci´n (1.1). Adem´s como
o
o
a
k !(n + k )!
k=0

(−1)k+1 ( x )n+2k+2
2
(k+1)!(n+k+1)!
lim
(−1)k ( x )n+2k
k→∞
2
k!(n+k)!

( x )2
2
=0
k→∞ (k + 1)(n + k + 1)

= lim

(∀x ∈ R)

la serie que define a Jn (x) es convergente para todo x ∈ R. Veamos que efectivamente Jn (x) essoluci´n
o
de (1.1).

∞

αk xn+2k

Jn (x) =

siendo αk =

k=0
∞

Jn (x) =

(n + 2k )αk xn+2k−1 y Jn (x) =

k=0

∞

(−1)k
2n+2k k !(n + k )!

(n + 2k )(n + 2k − 1)αk xn+2k−2

k=0

por lo que
x2 Jn (x)+xJn (x)+(x2 −n2 )Jn (x) =

∞

(n + 2k )(n + 2k − 1) + (n + 2k ) − n2 αk xn+2k +

k=0

k=0
∞

=

∞

(n + 2k )2 − n2 αk xn+2k +

∞
k=0

k=1

1

αkxn+2k+2 =

αk xn+2k+2 =

∞

[(n + 2k + n)(n + 2k − n)] αk xn+2k +

=
k=1

∞

αk xn+2k+2 =

k=0
∞

=

4k (n + k )αk xn+2k +

k=1
∞

=

∞

αk xn+2k+2 =

k=0

4(r + 1)(n + r + 1)αr+1 xn+2r+2 +

r=0

∞

αr xn+2r+2 =

r=0
∞

=

[4(r + 1)(n + r + 1)αr+1 + αr ] xn+2r+2 = 0

r=0

Si tomamos en la expresi´n de Jn (x) los valores n = 0 y n = 1, obtendremos lasfunciones de
o
Bessel de orden cero y uno respectivamente:
J0 (x) = 1 −

J1 (x) =

( x )2
( x )4
( x )6
2
+ 2 2 − 2 2 + ......
(1!)2 (2!)
(3!)

( x )2 ( x )4 ( x )6
x
1 − 2 + 2 − 2 + ......
2
1!2!
2!3!
3!4!

Estas funciones tienen la particularidad de que el resto de las funciones Jn (x) con (n = 2, 3, 4, ....)
pueden expresarse en t´rminos de ellas dos.
e
∞
d∞
(−1)k(−1)k (2n + 2k ) 2n+2k−1
dn
[x Jn (x)] =
x2n+2k =
x
=
dx
dx k=0 2n+2k k !(k + n)!
2n+2k k !(k + n)!
k=0

= xn

∞

(−1)k
xn−1+2k = xn Jn−1 (x)
2n−1+2k k !(k + n − 1)!
k=0

(n = 1, 2, 3, ...)

∞
d
(−1)k
(−1)k 2k
d∞
x2k =
x2k−1 =
x−n Jn (x) =
dx
dx k=0 2n+2k k !(k + n)!
2n+2k k !(k + n)!
k=1
∞

=

∞
(−1)k
(−1)r+1
x2k−1 =
x2r+1 =
2n−1+2k (k − 1)!(k + n)!2n+1+2r r!(r + n + 1)!
r=0
k=1

= −x−n

∞

(−1)r
xn+1+2r = −x−n Jn+1 (x)
2n+1+2r r!(r + n + 1)!
r=0

(n = 0, 1, 2, 3, ...)

Luego hemos obtenido las relaciones
dn
[x Jn (x)] = xn Jn−1 (x)
dx
d
x−n Jn (x) = −x−n Jn+1 (x)
dx

2

(n = 1, 2, 3, ...)
(n = 0, 1, 2, 3, ...)

(1.2)
(1.3)

Si efectuamos la derivaci´n en (1.2) y dividimos por xn
o
Jn (x) +

n
Jn (x) = Jn−1 (x)x

(1.4)

Con el mismo proceso, pero dividiendo por x−n , en (1.3)
Jn (x) −

n
Jn (x) = −Jn+1 (x)
x

(1.5)

De (1.4) y (1.5) se deducen las siguientes relaciones recursivas para las funciones de Bessel de
orden natural.

Jn−1 (x) + Jn+1 (x) =

2n
x Jn (x)

Jn−1 (x) − Jn+1 (x) = 2Jn (x)

(n = 1, 2, 3, ...)
(1.6)
(n = 1, 2, 3, ...)

para el caso n = 0 la segunda ecuaci´nse reemplaza por
o
J0 (x) = −J1 (x)

2.

Funciones de Bessel de primera especie y orden arbitrario
∞

Jν (x) =

(−1)k ( x )ν +2k
2
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)
k=0

Jν (x) ≡ funci´n de Bessel de primera especie y orden ν (x, ν ∈ R).
o
Ejercicio: Comprobar que Jν (x) y J−ν (x) son soluciones de la ecuaci´n de Bessel
o
x2 y + xy + (x2 − ν 2 )y = 0.
Nota: La soluci´n general de unaecuaci´n diferencial lineal de segundo orden
o
o
a2 (x)y + a1 (x)y + a0 (x)y = 0 viene dada por
y (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)
siendo C1 y C2 constantes arbitrarias, y1 (x) e y2 (x) soluciones linealmente independientes de la
ecuaci´n.
o
En el caso de la ecuaci´n diferencial de Bessel, no es complicado comprobar que las soluciones
o
Jν (x) y J−ν (x) son linealmente independientes siempre...