Biodiversidad

DERIVACION DE FUNCIONES SUCESIVAS

OBJETIVO:
Al término el alumno será capaz de aplicar el proceso de derivación sucesiva para obtener la derivada enésima de una función.

Se ha observado que la derivada de una función es también derivable (que tiene derivada) por lo que a la derivada de una función se le conoce como primera derivada, si este resultado se vuelve a derivarse obtendrá la segunda derivada de la función y si se deriva una vez más obtendremos la tercera derivada de la función inicial, y así sucesivamente hasta la enésima derivada.

A este proceso se le conoce también como derivada de orden superior. Su aplicación es amplia pues muchos de los problemas que operan en las ciencias están expresados en términos de una derivada sucesiva.EJERCICIOS:

a) Hallar la tercera derivada de las siguientes funciones.

1.- y = 3x5 + 6x4 – 2x2 + 5 2.- y = (x + 3)1/2
y' = 154 + 243 – 4x y' = (x + 3)–1/2
y''= 60x3 + 72x2 – 4y'' = – (x + 3)–3/2
y''' = 180x2 + 144x y''' =

3.- y = (4 + x2)1/2 4.- y = (x2 – 5)1/2
y' = x (4 + x2)–1/2 y' = x (x2 – 5)–1/2
y'' = y'''=
y''' =


5.- y = 7x5 – 4x4– 2x2 – 9 6.- y = (2 + x2)1/2
y' = 354 – 1643 – 4x y' = x (2 + x2)–1/2
y''= 140x3 – 48x2 – 4 y'' = 2/(2 + x2)3/2
y''' = 420x2 + 96x y''' =

ICOMPORTAMIENTO DE UNA FUNCION

* FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE.

Una función y=f(x) se llama función creciente si y aumenta (algebraicamente) cuando x aumenta. Una función y=f(x) se llama funcióndecreciente si y disminuye (algebraicamente) cuando x aumenta.
La gráfica de una función indica si esta es creciente o decreciente. Por ejemplo, en la gráfica, se observa que cuando hacemos que un punto cualesquiera se mueva a lo largo de la curva, de izquierda a derecha, la curva “sube”, es decir, a medida que la x del punto aumenta, la función (y) aumenta. y tienen un mismo signo.
En lagráfica de una función decreciente, si el punto se mueve a lo largo de la curva de izquierda a derecha, la curva “baja”, es decir, a medida que la x del punto aumenta, la función (y) disminuye. y tienen signos opuestos.
En un punto donde la tangente forma un ángulo agudo (menor de 90°) con el eje de las x, la pendiente es positiva y la función es creciente. Por otra parte, en un punto donde latangente forma un ángulo obtuso (mayor de 90°) con el eje de las x, la pendiente es negativa y la función es decreciente.

De aquí resulta el siguiente criterio, para averiguar el carácter creciente o decreciente de una función:

Una función es creciente cuando su derivada es positiva; es decreciente cuando su derivada es negativa.

MAXIMOS Y MINIMOSAl término el alumno conocerá la interpretación geométrica de la derivada y la aplicará en la determinación de la dirección de una curva en un punto dado; aplicará el proceso de derivación para resolver problemas de movimiento, problemas de máximos y mínimos de una función y problemas de optimización.

DIRECCION DE UNA CURVA: La dirección de una curva en cualquier punto se define como latangente de su ángulo de inclinación, ES DECIR SU PENDIENTE.
Una curva tiene un número infinito de rectas tangente, por cada punto de esta, pasa una recta tangente

Si la recta tangente a una curva en un punto dado es horizontal, es decir, paralela al eje x, ángulo de inclinación es de 0° y el valor de la pendiente es 0.

Si la recta tangente a una curva en un punto dado es vertical, es decir,...