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LAS DOS FORMAS DE ECUASIONES SILMULTANEAS

El Modelo de ecuaciones simultáneas son una forma de modelo estadístico que viene dado por un conjunto de ecuaciones lineales. A menudo se utilizan en econometría para encontrar valores de los parámetros que se encuentran correlacionados y que suceden paralelamente, tal como en las estimaciones de la oferta y la demanda.

Supongamos que hay mecuaciones de regresión de la forma:

y_{it} = y_{-i,t}'\gamma_i + x_{it}'\;\!\beta_i + u_{it}, \quad i=1,\ldots,m,

Donde i es en número de la ecuación, y t = 1, …, T es el índice de la observación. En estas ecuaciones xit es el ki×1 vector de variables exógenas, yit la variable dependiente, y−i,t es el ni×1 vector de todas las demás variables endógenas que entran en la ecuación ith del ladoderecho, y uit son los términos de error. La notación “−i” indica que el vector y−i,t puede contener cualquiera de los y’s excepto el yit ((puesto que ya está presente en el lado izquierdo). Los coeficientes de regresión βi y γi son de dimensiones ki×1 y ni×1 correspondientemente. Verticalmente apilando las T observaciones correspondientes a la ecuación ith, podemos escribir cada ecuación enforma vectorial como:

y_i = Y_{-i}\gamma_i + X_i\beta_i + u_i, \quad i=1,\ldots,m,

Donde yi y ui son T×1 vectores, Xi es una T×ki matriz de regresores exogenos, y Y−i es una T×ni matriz de regresores endogeneos del lado derecho de la ecuación ith.Finalmente, se puede mover todas las variables endógenas a la izquierda y escribir las ecuaciones m conjuntamente en forma vectorial como:Y\Gamma = X\Beta + U.\,

Esta representación se conoce como la forma estructural. En esta ecuación Y = [y1 y2 … ym] es la T×m matriz de variables independientes. Cada una de las matrices de Y−i es de hecho una submatriz ni columnas de esta Y. La matriz m×m Γ, que describe la relación entre las variables dependientes, tiene una estructura complicada. Tiene unos en la diagonal, y todos losotros elementos de cada columna i son o bien los componentes del vector de −γi o ceros, dependiendo de que se incluyeron columnas de Y en la matriz Y−i. La T×k matriz X ccontiene todos los regresores exógenos de todas las ecuaciones, pero sin repeticiones (es decir, la matriz X debe ser de rango completo). Así, cada Xi es una kisubmatriz X. La matriz Β tiene un tamaño k×m, y cada una de sus columnasconsta de los componentes de los vectores de βi y ceros, dependiendo de cuál de los regresores de X fueron incluidos o excluidos de Xi. Finalmente, U = [u1 u2 … um] es una T×m matriz de los términos de error.
Postmultiplicando la ecuación estructural por Γ -1, el sistema se puede escribir en la forma reducida como

Y = X\Beta\Gamma^{-1} + U\Gamma^{-1} = X\Pi + V.\,

Esto ya es un simplemodelo lineal general, y se puede estimar, por ejemplo, por mínimos cuadrados ordinarios. Por desgracia, la tarea de descomponer la matriz estimada \scriptstyle\hat\Pi en los factores individuales y Β Γ −1 es bastante complicada, y por lo tanto la forma reducida es más adecuada para la predicción, pero no inferencia.
Supuestos:
En primer lugar, el rango de la matriz X de regresores exógenos debeser igual a k, tanto en muestras finitas y en el límite como T → ∞ (significa esto más adelante requisito de que en el límite de la expresión \scriptstyle \frac1TX'\!X debe converger a un no degenerada k × k matriz). Matriz Γ también se supone que es no degenerada.
En segundo lugar, los términos de error se asumen como serie independiente e idénticamente distribuidas . Es decir, si la t ª filade la matriz T se denota por u (t), entonces la secuencia de vectores {u (t)} debe ser iid, con media cero y algunos matriz de covarianza Σ (que es desconocido). En particular, esto implica que E [U] = 0, y E [U'u] = T Σ.
Por último, las condiciones de identificación requiere que el número de incógnitas en este sistema de ecuaciones no debe exceder el número de ecuaciones. Más específicamente,...