C05_Residuos

245 Análisis matemático para Ingeniería.

M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA

CAPÍTULO 5
Singularidades y residuos

En este capítulo se estudian las funciones complejas cerca de aquellos
puntos en los que la función no es holomorfa. Estos puntos se denominan
singularidades. Las singularidades más frecuentes aparecen al formar el
cociente de dos funciones holomorfas, ya que losceros del denominador van a
ser singularidades de la función. Esto lleva a estudiar brevemente el conjunto
de ceros de una función holomorfa.

5.1.

SINGULARIDADES
Tienen importancia ahora los puntos en los que la función no es

holomorfa.
Definición 5.1.1:
Se dice que una función tiene una singularidad en z = a si f no es
holomorfa en a, y en todo entorno de a existen puntos donde la función esholomorfa.
Definición 5.1.2:
Se dice que una función f tiene una singularidad aislada en z = a si f no
es holomorfa en a, y existe un número R > 0 tal que f es holomorfa en {z; 0 < |

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Capítulo 5º: Variable Compleja

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z − a | < R}.
El conjunto B R (a) = {z; | z − a | < R} se denomina disco abierto, bola
abierta o entorno de centro a y radio R.El conjunto B R (a)/{a} = {z; 0 < | z − a | < R} se denomina disco pinchado,
bola pinchada o entorno pinchado de centro a y radio R, y se denota por
B’R (a).
Usualmente se utiliza el nombre de singularidad para denominar a las
singularidades aisladas.

Ejemplos resueltos
Ejemplo 5.1.1: Determinar las singularidades aisladas de las funciones
f(z) = sen

4z
senz
1
, f(z) =
, f(z) =
.
2
z
z
z +1Estas funciones tienen singularidades aisladas en los puntos 0; 0; i y –i
respectivamente.

Ejemplo 5.1.2: Determinar las singularidades de la función f(z) =

1
1
sen
z

.

Tiene singularidades aisladas en los inversos de los múltiplos enteros de
π. El origen, que es también una singularidad de esta función, al ser un punto
de acumulación de las singularidades anteriores, es una singularidad noaislada, ya que no existe ningún entorno del origen donde la función sea
holomorfa.
Nótese que si f es holomorfa en todo el plano complejo salvo una cantidad

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finita de puntos, entonces todas sus singularidades son aisladas.

Ejercicios
5.1.

Determinar las singularidades aisladas de las funciones:
z≠2
,
z=2

senzsi
a) f(z) = 
si
 0
e z
b) f(z) = 
 1

si
si

c) f(z) =

1
,
z

d) f(z) =

1
.
z−3

z ≠1
,
z =1

(Solución: a) z = 2, b) z = 1, c) z = 0, d) z = 3).
5.2.

Determinar las singularidades aisladas de las funciones:

a) f(z) =

z
,
z +3
2

1
b) f(z) = exp( ),
z

c) f(z) =

z +1
z 3 ( z 2 + 1)

,

1
d) f(z) = sen( ).
z

(Solución: a) z = ±i 3 , b) z = 0, c) z = 0, i, −i, d) z = 0).

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Capítulo5º: Variable Compleja

5.3.

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Analizar las singularidades de la función: f(z) =

(Solución: Tiene singularidades aisladas en z =

1
1
sen( )
z

.

1
, pero en z = 0 tiene una
nπ

singularidad no aislada.
5.4.

Analizar el tipo de singularidad de la función f(z) = Log z en z =

0.
(Solución: El origen es un punto singular, pero no es unasingularidad aislada
sino un punto singular no aislado ya que todos los puntos del semieje real
negativo son singulares).

5.5.

Analizar las singularidades de la función: f(z) =

(Solución: Tiene singularidades aisladas en z =

1
π
sen( )
z

.

1
, para n entero, y
n

en z = 0 tiene una singularidad no aislada).

5.2. CARACTERIZACIÓN DE LAS SINGULARIDADES
AISLADAS
Las singularidades aisladas se puedenclasificar en tres tipos:
 Singularidades evitables
 Polos
 Singularidades esenciales

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5.2.1. Singularidades evitables
Definición 5.2.1:
El punto z = a es una singularidad evitable de f si existe una función
holomorfa g: B R (a) → C tal que g(z) = f(z) para todo z del conjunto B’R (a) = {z;
0 < | z − a | <...