C10_Lineales_Orden_Superior

607 Análisis matemático para Ingeniería.

M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA

CAPÍTULO 10.
Ecuaciones diferenciales lineales de orden
superior

En este capítulo se estudian las ecuaciones diferenciales lineales de
orden superior.
Desde que se comenzaron a estudiar las ecuaciones diferenciales ha
resultado evidente que es difícil obtener resultados muy generales que
permitanobtener las soluciones de un tipo determinado de ecuación. Una
excepción a esta carencia de una teoría general para resolver ecuaciones
diferenciales se presenta en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales
y en particular de las que tienen coeficientes constantes.
En una ecuación diferencial lineal de orden n homogénea, el conjunto de
soluciones tiene estructura de espacio vectorial dedimensión n, por lo que
basta encontrar n soluciones linealmente independientes para obtener la
solución general. El conjunto de soluciones de cualquier ecuación diferencial
lineal de orden n completa tiene estructura de espacio afín, que tiene como
espacio vectorial asociado el conjunto de soluciones de la ecuación
homogénea asociada. En consecuencia, si se conoce la solución general de la
ecuaciónhomogénea asociada, para tener la solución general de la ecuación
completa es suficiente encontrar un punto de ese espacio afín, es decir, una
solución particular de esta ecuación.

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Capítulo 10º: Ecuaciones diferenciales

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Pero incluso en este caso, a veces, resulta difícil encontrar n soluciones
linealmente independientes de una ecuacióndiferencial lineal homogénea.
Solamente en el caso más sencillo, en el que los coeficientes de la ecuación
son constantes, existe un método general que permite calcular las soluciones
en función de los coeficientes de la ecuación.
Si los coeficientes de la ecuación diferencial son funciones analíticas se
pueden obtener soluciones en forma de series de potencias, y resolver de esta
forma muchasecuaciones particulares, como las ecuaciones de Legendre y
Bessel, que tienen una importancia especial por sus múltiples aplicaciones en
problemas relativos a vibraciones de membranas, flujos de calor y propagación
de corrientes eléctricas.
Como en el caso general, las ecuaciones diferenciales lineales de orden
superior no siempre pueden ser resueltas explícitamente en términos de
funciones elementalesconocidas, por lo que resulta necesario determinar las
condiciones para poder garantizar la existencia y unicidad de la solución.
El capítulo comienza, en la Sección 1, con algunas ideas sobre
operadores lineales que permiten simplificar la notación en el estudio de
ecuaciones diferenciales lineales, y se explicitan los teoremas de existencia y
unicidad de soluciones. En la Sección 2ª se estudiala estructura algebraica de
las soluciones de una ecuación diferencial lineal. Un estudio algebraico permite
determinar las soluciones de una ecuación lineal homogénea con coeficientes
constantes en la Sección 3ª.
En las secciones siguientes se proponen varios métodos para resolver la
ecuación no homogénea y algunos casos particulares en los que resulta fácil
resolver la ecuación con coeficientesno constantes. En la Sección 6ª se

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Ecuaciones diferenciales 609

resuelven algunas ecuaciones especiales mediante desarrollos en series de
potencias y se termina el capítulo con la Sección 7ª en la que se presentan
distintas aplicaciones de estas ecuaciones a la mecánica, a la electrónica y, en
general, a la física.

10.1. CONCEPTOS PREVIOSDefinición 10.1.1:
Una ecuación diferencial de orden n se denomina lineal si es lineal
respecto a la variable dependiente y, y a todas sus derivadas hasta el orden n,
de modo que se puede expresar de la forma:
P 0 (x)⋅yn) + P 1 (x)⋅yn-1) + ... + P n-1 (x)⋅y' + P n (x)⋅y = G(x)

(10.1.1)

donde P 0 , P 1 , ..., P n son funciones definidas en un intervalo (a, b) de la recta
real.
Definición 10.1.2:...