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lng. Civil GRUPO: “CE”
ll semestre


UNIDAD LV……………………………………………………. “SERIES”




Oaxaca de Juárez, Oaxaca. A 11 de junio del 2013.
CONTENIDO.-

CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES

SERIES DE POTENCIAS

SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN

INTEGRACION DE FUNCIONES DESERIES DE POTENCIAS





















CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES
Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)
Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe

con , el Criterio de D'Alembert establece que:
si L < 1, la serie converge.
si L > 1, entonces la serie diverge.
si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento dela serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Ejemplo # 1
Pruebe si la serie  converge o diverge.
 
como  , por el criterio del cociente la serie  converge.

Ejemplo # 2
Pruebe si la serie  converge o diverge.

como , la serie  converge por el criterio del cociente
Ejemplo # 3
Probar si la serie converge o diverge:

 
Entonces, por elcriterio del cociente, como  , la serie  también diverge

Ejemplo # 4
Pruebe si la serie  converge o diverge ahora para facilitar el calculo haremos lo siguiente 







Como  entonces decimos que por el criterio del cociente la serie  diverge.
Criterio de Cauchy (raíz enésima) es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad. Es particularmente útil en relacióncon las series de potencias.
Sea una serie  , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe.
el criterio de la raíz utiliza el número donde "lim sup" denota el límite superior, que puede llegar a ser ∞. Tenga en cuenta que si converge, entonces es igual a C y puede ser utilizado en el criterio de la raíz.
El criterio de la raíz establece que:
Si C < 1, entonces laserie converge absolutamente
Si C > 1, entonces la serie diverge,
Si C = 1 y  de cierto  en adelante, entonces la serie diverge.
En otros casos el criterio no lleva a ninguna conclusión.
Hay algunas series en que C= 1 y la serie converge, por ejemplo,, y hay otros para los que C= 1 y la serie diverge, por ejemplo, .

Aplicación a series de potencias 
Este criterio se puede utilizar conuna serie de potencias

Donde los coeficientes cn, y el centro p son números complejos, y el argumento z es una variable compleja.
Los términos de esta serie vendrían dados por an = cn(z − p)n. Entonces se aplica el criterio de la raíz a an como se vio más arriba. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se llama una serie de potencias "alrededor de p", ya que el radiode convergencia es el radio R del mayor intervalo o disco centrado en p de manera que es serie converge para todos los puntos estrictamente en el interior del intervalo o disco. Como corolario del criterio de la raíz se obtiene que el radio de convergencia es exactamente  , teniendo cuidado de que es ∞ si el denominador es 0.
Prueba 
La prueba de la convergencia de una serie Σan es unaaplicación del criterio de comparación. Si para todo n ≥ N (N algún número natural fijo) tenemos  entonces  Puesto que la serie geométrica  converge también converge  por el criterio de comparación. La convergencia absoluta en el caso de an no positivos puede ser probada de la misma forma usando 
Si  de un número infinito de n, entonces los an no convergen a 0, por lo tanto, la serie es divergente.SERIE DE POTENCIAS
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
Donde  es una variable y las  son constantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada  establecida, la serie (1) es una serie de constantes que puede probar para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de potencias podría ser convergente para...