cal vec


Calc Vec

Ejemplo 10. Descomposición de un transformación lineal en R2 en una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones.
Considere la transformación T : R2→R2 conrepresentación matricial A_T=(■(1&2@3&4)). Usando la técnica de la sección 3.6 AT se puede escribir como el producto de tres matrices elementales:
(■(1&2@3&4))=(■(1&0@3&1))(■(1&0@0&-2))(■(1&2@0&1))
Ahora(■(1&0@3&1)) representa un corte a lo largo del eje y (con c=3)
(■(1&2@0&1)) representa un corte a lo largo del eje x (con c=2)
(■(1&0@0&-2))=(■(1&0@0&-1))(■(1&0@0&2)) representa una expansión a lolargo del eje y (con c=2) seguida de una reflexión respecto al eje x.
Así, para aplicar Ta un vector en R2, se tiene que
i) Cortar a lo largo del eje x con c=2. ii) Expandir a lo largo del eje ycon c=2.
iii) Reflejar respecto al eje x. iv) Cortar a lo largo del eje x con c=3.
Observe que estas operaciones se realizan en el orden inverso en que se escriben las matrices en (4).Para ilustrar esto, suponga que v=(3¦(-2))
Entonces Tv=A_T v=(■(1&2@3&4))(3¦(-2))=(1¦(-1))
Usando las operaciones i) a iv) se tiene que
(3¦(-2))→Corte(■(1&2@0&1))(3¦(-2))=((-1)¦(-2))→Expansion(■(1&0@0&2))((-1)¦(-2))=((-1)¦(-4))→Relfexion
(■(1&0@0&-1))((-1)¦(-4))=((-1)¦4)→Corte (■(1&0@3&1))((-1)¦4)=((-1)¦1)
En la figura 5.10 se bosquejan los pasos.

AUTOEVALUACION.
I.Si T:R3→R3 es latransformacion lineal T(■(x@y@z))=(■(z@-x@y)) , entonces AT=
a)(■(0&-1&0@0&0&1@1&0&0)) b)(■(0&0&1@-1&0&0@0&1&0)) c) (■(1&0&0@0&-1&0@0&0&1)) d)(■(0&0&1@0&1&0@-1&0&0))
II. _______ representa (n) una expansion a lo largo del eje y.
a)(■(2&0@0&1)) b)(■(1/2&0@0&1)) c)(■(1&0@0&2)) d)(■(1&0@0&1/2))
III._______ representa(n) una expansion a lo largo del eje x.
a)(■(-1&0@0&1)) b) (■(1&0@0&-1)) c) (■(1&0@0&2)) d)(■(1&1/3@0&1)) e)(■(1&0@3&1)) f)(■(1&0@1/3&1))

De los problemas 1 al 38 encuentre...