Calculo Cap08

Cap´ıtulo

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Integral de Riemann

8.1. Introducción
El cálculo integral tiene sus orígenes en los llamados problemas de cuadraturas. Inicialmente, en la antigua Grecia, dichos problemas eran geométricos y consistían en construir, siguiendo reglas precisas, un cuadrado con área igual a la de una figura plana dada. En el siglo
XVII, con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geométricosde estos problemas
pasaron a un segundo plano y las técnicas de cálculo ocuparon su lugar, los problemas de cuadraturas pasaron a ser simplemente problemas de cálculo de áreas y de volúmenes. Se atribuye
a Eudoxo la invención del método de exhausción, una técnica para calcular el área de una región aproximándola por una sucesión de polígonos. Arquímedes perfeccionó este método y,
entre otrosresultados, calculó el área de un segmento de parábola y el volumen de un segmento
de paraboloide, así como el área y el volumen de una esfera.
Sorprende que, siendo tan antiguos sus orígenes, la primera definición matemática de integral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy. Una posible explicación
es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integración fue considerada como laoperación
inversa de la derivación; el cálculo integral consistía esencialmente en el cálculo de primitivas. Naturalmente, se conocía la utilidad de las integrales para calcular áreas y volúmenes,
pero los matemáticos de la época consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva
y no vieron la necesidad de precisar su significación matemática. Los trabajos de Joseph Fourier (1768-1830) sobrerepresentación de funciones por series trigonométricas, hicieron que el
concepto de función evolucionara, desde la idea restrictiva de función como fórmula, hasta la
definición moderna de función dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la integral de estas nuevas funciones más generales se vio la necesidad de precisar matemáticamente
los conceptos de área y de volumen.
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La definición de la integral de Cauchy seguía la tradicional aproximación del área por
rectángulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar a
la integral como un objeto matemático merecedor de estudio por sí mismo, y en el propósito de
atribuirle un significado independiente de las técnicas que pudieran utilizarse en los cálculos.
Estesignificado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de área. Ningún
matemático anterior al siglo XIX había considerado necesario elaborar una teoría matemática
del concepto de área; es en dicho siglo cuando el concepto de área adquiere un significado
matemático preciso o, mejor dicho, varios significados matemáticos, porque dicho concepto
evolucionó hasta que, en la primera décadadel siglo XX, adquirió esencialmente su forma
actual.
Puede que a ti el concepto de área te parezca tan evidente que te resulte extraño que se
dedicaran tantos esfuerzos a elaborar una teoría matemática del mismo. Es natural que pienses
así. Las regiones planas y los sólidos que usualmente nos interesan para calcular su área o
su volumen no son tan complicados que puedan hacernos dudar de sirealmente tienen área o
volumen: polígonos o poliedros, regiones limitadas por curvas o por superficies que pueden
definirse por sus respectivas ecuaciones, todos ellos tiene claramente su área o su volumen y
el problema real es calcularlos y no se entiende por qué hay que empeñarse en definirlos. Así
pensaban también los matemáticos hasta el siglo XIX. Pero cuando empezaron a considerarse
funcionescada vez más generales, las cosas cambiaron mucho. Hay funciones para las que no
es evidente que su gráfica determine una región con área. El siguiente ejemplo te ayudará a
entender lo que quiero decir.
8.1 Ejemplo. Considera la función f W Œ0; 1 ! R que vale 2 en los números racionales y 1
en los irracionales.
¿Te imaginas cómo es la gráfica de esa función? Pare2
cería como la de la figura: dos...