Calculo Ii

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

PLANTEL CCH-VALLEJO

CÁLCULO II

Introducción:
En este trabajo veremos como el integrar nos sirve para llegar a soluciones de problemas complejos. Se ha visto que el problema de la pendiente se resuelve con la derivada de la función. En este trabajo se describirá como el problema del área esta conectado con la “integral” de una función.

Ambosproblemas fueron estudiados por los griegos y resueltos en casos especiales, pero no fue sino hasta el desarrollo del cálculo en el siglo XVII que se descubrió la intima conexión entre los dos problemas. En sentido que será claro más tarde, encontrar una derivada y encontrar una integral son problemas inversos.
Se han desarrollado distintas técnicas para calcular F´(x) de una función F(x).sinembargo, en muchas aplicaciones es necesario proceder a la inversa. Dada la derivada F´(x) se deberá determinar la función F(x).El proceso para determinar F(x) a partir de F´(x) de llama “antiderivación” o “integración”.
A lo largo de este trabajo explicaremos los métodos de integración así como las formulas que se requieren para llegar al resultado de la función y además el lector podrá entendermejor la integración a través de los ejercicios resueltos.

Derivada:
Supóngase que una curva es la grafica de la función f(x).Generalmente es posible obtener una formula que de la pendiente de la curva y=f(x) en cualquier punto. Esta formula de la pendiente se llama derivada de f(x) y se escribe f´(x).Para cada valor de x, f´(x) da la pendiente de la curva y=f(x) en el unto cuya primeracondenada es x. El proceso de calcular f’(x) para una función dada f(x) se llama derivación. La derivada también se utiliza durante el proceso de integración por partes.

Integral:
Dada una función F(x).Si para todo x en el dominio de F ,existe otra función F(x),tal que:
F´x=fx
Se dice entonces que F(x) es una función integral de f(x),y que f(x) es una funcion integrable:
fxdx=F´xdx=F(x)Integral indefinida:
Sea y=F(x) una función cuya derivada con respecto a x es F´x=dydx.La integral indefinida de F’(x) con respecto a x se define como:
F´xdx=Fx+c
Donde c es una constante arbitraria. Por ejemplo, si y=x2entonces dydx=2x, y la integral indefinida de la funcion 2x es
2xdx=x2+c porque ddxx2+c=2x
Las siguientes formulas son esenciales para integrar:
1)xndx=xn+1n+1+c ;si n≠-1 yn∈R
2)1xdx=In x+c
3)exdx=ex+c
4)axdx=dxIn(a)+c

Estas son dos propiedades de la integral:
1) cfxdx=cfxdx
2) fx±gxdx=fx±gx

Además de la integración simple existen otras dos formas de integrar que nos facilitan el proceso para llegar al resultado y se trata de la integración por sustitución y la integración por partes.
Integración por sustitución:
El método de integración porsustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Integración por partes:
Al evaluar la fxdx es posible que no se pueda resolver por sustitución, lo que motiva y obliga a buscar otros métodos. Entre ellos laintegración por partes
Del calculo diferencial sabemos que si u=u(x) y V=v(x) son derivables se tiene que:
a)d(uv)dx=udvdx+vdudx
b)du∙v=udv+vdu
c)udu=duv-vdu
d)udv=duv-vdu
la formula es:
udv=uv-vdu

Ejercicios prácticos:
Hallar el área de la región sombreada

Los untos de corte f y g ocurren cuando x=0 o cuando x=1 en esta región sombreada, la grafica de g esta dada por encima de f, de talforma que lo que se quiere hallar es:
1bx2-xdx
Pero sabemos
0bxdx=0bx2dx
Donde
=0bxdx01xdx=0bx2dx=01x2dx+1bx2dx
Donde tememos
=01xdx+1bxdx=01x2dx+01x2dx+1bx2dx
=0bx2dx-1bxdx=01xdx-01x2dx
=1b(x2-x)dx=01(x-x2)dx
=01x22-x33=122-133-0=16
Hallar el área de la región sombreada

Igualamos:

12y2=y+4
y2=2(y+4)
y2=2y+8
y2-2y-8=0
(y+2)(y+4)=0
y1=-2 y2=4

∆=-24y+4-12e2dy...