Calculo Integral3 Reparado




Unidad 1

Teorema fundamental del cálculo.
Medición aproximada de figuras amorfas.
Notación sumatoria.
Sumas de Riemann.
Definición de integral indefinida.
Función primitiva.
Teorema fundamental del cálculo.
Calculo de integrales definidas.
Integrales impropias.

Mediciones de figuras amorfas. (Área bajo la curva)
Así como el concepto de la derivada proviene del problema geométrico de trazaruna tangente a una curva, el problema histórico que conduce a la definición de la integral definida es el de calcular áreas concretamente interesa evaluar el área A de una región limitada por el eje X, la grafica de una función no negativa y=f(x) definida en cualquier intervalo [a,b] y:
1) Las rectas verticales X1=a y X2=b.




2) Las intercepciones X y Y





A cualquiera de estas dosgraficas se le llamara área bajo la curva de f.
Supóngase por lo pronto que no se conoce una fórmula para calcular el área A del triangulo rectángulo como se muestra en la siguiente figura.





Súper poniendo un sistema coordenado cartesiano al triangulo como se muestra en la siguiente figura.




Puede verse que el problema es el mismo que calcular el área en el primer cuadrante limitada limitada porlas rectas, , y=0 (en el eje x) y x=b. en otras palabras esto quiere decir, determinar el área bajo la curva en el intervalo [a, b].
Las siguientes figuras muestra 3 formas diferentes de calcular aproximadamente el área total A utilizando rectángulos.


Por conveniencia, establecemos como modelo de cálculo la figura 6. Ahora supongamos que al intervalo [a, b] se divide en n-subintervalos deigual amplitud Δx=b/n. Si se denota la frontera derecha de estos subintervalos por Xk entonces: X1= Δx=b/n, X2=2 Δx=2(b/n),…, Xk=K Δx=K(b/n),…, Xn=n Δx=n(b/n)=b.
La altura del rectángulo construido sobre el subintervalo K-esimo está dada por la función f(Xk) de tal manera que el área del rectángulo general es entonces f(Xk) Δx.
Sumando las áreas de los n rectángulos se obtiene una aproximación alnúmero a (área). Por lo tanto, tenemos que el área f(X1) Δx+f(X2) Δx+…+f(Xn) Δx.
De otra manera, podemos representarlo también usando la notación sumatoria:
A
Parece razonable que se puede reducir el error introducido por este método de aproximación, el área de cada rectángulo es mayor que el área bajo la curva en cualquiera de los intervalos se puede proceder a sus divisiones más finas. En otraspalabras se espera obtener una mejor aproximación al valor A usando mas y mas rectángulos. Donde n ---> ∞ de amplitud decreciente Δx---> 0.
Esto mismo pasa con cualquier curva, podemos encontrar el área bajo la curva por medios de rectángulos aun más finas para reducir el error.

Notación sumatoria (Notación sigma)
Resulta útil introducir una notación especial que permite escribir una suma osumatoria de constantes, tal como:
Sea Ak un numero real que depende de un entero K por lo tanto, se denota la sumatoria A1+A2+A3+…+An. Por el símbolo:

Como se utiliza sigma (Σ) a la expresión anterior se le llama notación sumatoria.
A la variable K se le denomina índice sumatorio. Por lo tanto, es la sumatoria de todos los números de la forma Ak cuando K toma valores sucesivos como K=1, K=2, K=3,K=n.



Ejemplos:

= [3(1)-1]+ [3(2)-1] + [3(3)-1] + [3(4)-1] + [3(5)-1]
= (3-1)+ (6-1)+ (9-1)+ (12-1)+ (15-1)
= 2+5+8+11+14
= 40

=
= + + +
= + + +
= + + +
=
= 0.4636


= +
= 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1000
= 3025

NOTA: no es una regla obligatoria que el sub-índice K siempre deba empezar en 1 . Sin embargo por conveniencia se hace así.
Ejercicios #1.Unidad 1

= [2(1)-1] + [2(2)-1] + [2(3)-1] + [2(4)-1] + [2(5)-1] + [2(6)-1] + [2(7)-1] + [2(8)-1] + [2(9)-1] + [2(10)-1]
= 1 + 3+ 5 + 7+ 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
= 100

= [2(1)+1] + [2(2)+1] + [2(3)+1] + [2(4)+1] + [2(5)+1] + [2(6)+1]
= 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
= 48


= 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21
= 230

= (2+3(1)-8) + (2+3(2)-8) +...