CalculoVectorialSolucionariodeLeithold

UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE
IBARRA - ECUADOR

CÁLCULO VECTORIAL
Louis Leithold-EC7; capítulos 9, 10 y 11
Arnaldo Pillajo y Ernesto Palacios

2009

(También hay disponible una versión .docx)

vlad_palacios@hotmail.com

EJERCICIOS 9.1

En los ejercicios 1 a 10, dibuje la gráfica de las ecuaciones para métricas y obtenga una
ecuación cartesiana de la grafica.
1.

x
x

2.

x
x

3.

4 cos t ; y
2y

2

16 cos

4 sin t ; t
2

4 cos t ; y
2

x

y

2

16 cos

t

16 sin

2

0, 2
t

4 sin t ; t
2

4 cos t ; y

t

16 sin

2

16

0,
t

16; y

1

4 sin t ; t

2

x

4.

2

x
x

y

2

16 cos

2

9 cos t ; y
2

81

y

t

16 sin

2

t

4 sin t ; t

0, 2

2

16

cos

2

t

sin

2

t

16; x

1

,

0

1
2

0

5.

x
x

4 cos t ; y
2

16

6.

x

25 sin t ; t

0, 2

2

y

cos

2

t

sin

2

t

1

625

4cos t ; y

1

25 sin t ; t

,

2

x

2

16

7.

x

y

cos

2

t

sin

2

t

1; x

0

625

25 tan t ; t

1
2

x

16

2

2

4 sec t ; y
2

1

y

2

81

sec

2

t

tan

2

t

1, x

0

,

1
2

8.

x

4 tan t ; y

9 sec t ; t

0,

1
2

y

2

x

81

9.

2

sec

2

t

tan

2

t

1, x

16

x

3

2t ; y

x

2y

3

10. x

2t

5; y

x

2y

2t

4

t

2t

t

5

8

2t

11

2t

2

7

1

0

,

3
2

dy

En losejercicios 11 16, calcule

2

d y

;

dx
11. x

3t , y

2t

dt
dx

dx

dy
2

4t

d y

;

3

dx

t , y

1

t

dy
dy

dy
2

1

dt
dx

dx

;

2t

d y
dx

2

1

dt
dx

2

dt

13. x

9

dt

2

1

4

dt
dx

2

dt

12. x

4t

t

t e , y

dx

dt
dx

t ln | t |

dy
ln | t
te

t

1|

2

2t

e , y

;

t

d y
dx

dt
dx

2

dx

dt
dx

1

2t

sin t

2

;

d y

2

dx

dt
dx

2

dx

dt

2t

2

sin t

cos t

2

4dt

a cos t , y

dt
dx

3

t e

1|

t
t

2

4t

3

dy
e

b sin t

dy
dy

ln | t

cos t

dt

15. x

t

dt

dy
dy

2

2

dt

14. x

3

dt

dy
dy

sin eliminar el parámetro.

2

2

dy
dy

dx

dy
b
a

2

cot t ;

d y
dx

2

dt
dx
dt

b
2

a csc

3

t

e

4t

2

16. x

a cosh t , y

b sinh t

dy
dy

dy
b

dt
dx

dx

2

d y

coth t ;

a

dx

dt
dx

2

dt

b
a

2

csc h

3

t

dt

En los ejercicios 17 a21, para la grafica de las ecuaciones para métricas (a), obtenga las
rectas tangentes horizontales y verticales, y (b) determine la concavidad
17. x
a)

4t

2

4t ; y

dx
dt
dy
dt
x

1

8t

2

4t

4;

dy

8t

dt
dx

0;

4

0

dt
1
dy

dy

b)

dx

2

8t

dt
dx

8t

;
4

d y
dx

1 t

dt

18. x
a)

t

2

t, y

dx
dt
dy

t

2t

dt
y

2

t

1;
dx
dt

1
4

1
2

dy

2t

dt
0;

1

2

2

0

1

3

dy
dyb)

2t

dt
dx

dx

1

2t

1

2

;

d y
dx

3

2t , y

1

2 t

dt

19. x

1

2

2

4t

dy
dy

8t

dt
dx

dx

6t

4

2

3t

dt
x

0

2

20. x

2t ; y

dx

4t;

dt
dy

dy
dt

9

t
dx
4
2
d y
9
dx

2

16 t

3t

3

9t

2

2

d y

2

2

9t

dx

4

3

3t

21. x

1
dx
dt

t

3

1

3 1
1

3t

, y
2t
t

3

3
2

;

2

t

3

; t

1

dy

3t 2

dt

1

t
t

3

3
2

22. Trace la hoja de Descartes del ejercicio 21en la graficadora y determine la
1 ;(b) 1 t 0 ;(c) t 0 .
porción de la hoja generada cuando (a) t

23. Obtenga una ecuación cartesiana de la hoja de Descartes del ejercicio 21.

x

3

y

27 t

3

3

27 t

1

t

3

6

27 t

3

1

t

3

3

2

3t

3
1

3t
3

t 1

2

t

3

3 xy

24. Un proyectil se desplaza de modo que las coordenadas de su posición en
cualquier instante t están dadas por lasecuaciones para métricas
2

16 t . Dibuje la trayectoria del proyectil y verifique la gráfica en

x 60 t ; y 80 t
la graficadora.

25. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por
1
las ecuaciones para métricas x 2 sin t ; y 5 cos t , para el cual t
.
3
dy
5 sin t
dy
5
dy
5
dt
3
tan t
dx
dx
2
dx
2 cos t
2
dt

26. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto dela curva definida por
las ecuaciones para métricas x

1 3 sin t ; y

2

5 cos t

para el cual

1

t

6

dy

5 sin t

5

dx

3 cos t

3

x

1

y

3

2

5

1

5

2
1

2
3 ;

2

tan t

dy

5

dx

9

2

27. Calcule

3

3

dy d y d y
en el punto de la cicloide que tiene ecuaciones (2) para el
;
;
2
3
dx dx
dx

cuál y alcanza su valor máximo cuando x esta en el intervalo cerrado 0, 2 a .

dx

2

sin t...