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Clase 5: Métodos de demostración directo e indirecto.
Método de demostración directo
Muchos de los teoremas que se estudian en matemáticas son de la forma si P , entonces Q .
Una demostración directa de una proposición de la forma P  Q , consiste en una lista finita
de proposiciones P  P , P2 , P3 , ... , Pn  Q , donde P  P2  P3  ...  Pn y cada
1
1
implicación es verdadera.
En elmétodo de demostración directo se parte de P (hipótesis) y se llega a Q (tesis) y cada
proposición se puede obtener de la anterior o anteriores aplicando una definición, un
postulado o axioma, o un teorema previamente demostrado.
Ejemplo 1. Demostrar que si dos enteros son pares, entonces su suma es par.
a y   pares
En símbolos " Sib son enteros 



PP
1

a es "
bpar
  
Q  Pn

Antes de realizar esta demostración se necesita recordar la siguiente definición.
“El entero n es par si existe un entero k tal que n  2k , y es impar si existe un entero k
tal que n  2k 1 ”. Cabe anotar que un número entero es bien par o bien impar.
Demostración.
Proposiciones
P1 :

Razones

a es par , b es par

P2 : a  2k , b  2t

Hipótesis

k , tZP3 : a  b  2k  2t  2(k  t )
P4 : a  b  2m , m  Z
P5 : a  b es par

(m  k  t )

Definición de par , en P1
Por P2 y factor común
La suma de dos enteros da otro entero , en P3
Definición de número par , en P4

Ejemplo 2. Demostrar que la suma de dos números racionales es un número racional.

a y  
racional
En símbolos " Sib son números racionales  a  b es"






Q
P
Antes de realizar esta demostración se necesita recordar la siguiente definición.
“El número real a es racional si existen enteros s y t , t  0 , tales que a  s .
Un número real que no es racional se llama irracional ”

t

Demostración.
Proposiciones
P1 :

Razones

a y b son racionales

P2 : a  s , b  u
t
v

Hipótesis

s , t , u , v enteros , t 0 , v  0

Definición de racional , en P1

svut
P3 : a  b  s  u 
t v
tv

Por P2

P4 : a  b  x , x, y  Z , y  0 ( x  s v  u t , y  t v)
y

La suma y multiplica ción de enteros
da otro entero , en P3

P5 : a  b es racional

Definición de número racional , en P4

Ejemplo 3. Sea n un entero, demostrar que si 3n  2 es par, entonces n es par.

 2 es par
Ensímbolos " Si 3n 

P

n  par "
es 
 
Q

Demostración.
Proposiciones

Razones

P1 : 3n  2 es par

Hipótesis

P2 : 3n  2  2k ,
P3 : n 

k Z

2k  2  k 1 
 2

 3 
3

Definición de número par , en P1
Despejando n, de P2

Observe que de la proposición P3 no se puede concluir que n sea un entero par, porque si
k es un entero, no siempre k 1 es unentero.
3
En este caso tratar de dar una demostración directa no tiene éxito, éste ejercicio se puede
demostrar usando un método de demostración indirecto.

Método de demostración indirecto
Una de las formas de demostración indirecta, consiste en probar una proposición equivalente
a la dada. Para demostrar una proposición de la forma P  Q por el método indirecto, se
podría probar que  Q  P es verdadera. En este caso se dice que se usa el método de
La contra recíproca.

Retomando el Ejemplo 3, para demostrar que " Si 3n  n  par "
 2 es par
es 

 
P
Q
Con el método indirecto (contra recíproca), se debe demostrar que la proposición

" Si n   
es impar


Q

3n es  "
 2 impar



P

es verdadera.

Demostración
ProposicionesP1 :

Razones

n es impar

P2 : n  2k  1 ,

Hipótesis
k Z

Definición de número impar , en P1

P3 : 3n  2  3(2k  1)  2  6k  5

Por P2 , distributi va y suma de enteros

P4 : 3n  2  6k  4  1

Sustitució n de 5  4  1 , en P3

P5 : 3n  2  2(3k  2)  1

Factor común, en P4

P6 : 3n  2  2 t  1 , t  Z (t  3k  2)

La multiplica ción y suma de...