Cap4

Cap´ıtulo 4

Propiedades de la integral
En este cap´ıtulo estudiaremos las propiedades elementales de la integral.
En su mayor´ıa resultar´an familiares, pues las propiedades de la integral en
R se extienden sin dificultad al caso de funciones de varias variables.
Teorema 4.1 Sean A un subconjunto acotado de Rn , f, g : A −→ R funciones integrables, c ∈ R. Entonces:
(i) f + g es integrable, y(ii) cf es integrable, y
(iii) |f | es integrable, y |
(iv) Si f ≤ g, entonces

A (f

A cf

=c

A f|
Af

+ g) =

≤

≤

Af

+

A g.

A f.
A |f |.

A g.

(v) Si A tiene volumen, y |f | ≤ M , entonces |

A f|

≤ M v(A).

(vi) Si f es continua, A tiene volumen y es compacto y conexo, entonces
existe x0 ∈ A tal que A f (x)dx = f (x0 )v(A).
(vii) Sean A, B conjuntos acotados de Rn , y sea f : A ∪ B −→ R.Supongamos que y que las restricciones de f a A, B y A ∩ B (que denotamos por f|A , etc) son integrables. Entonces f es integrable, y
A∪B f = A f + B f − A∩B f .
(viii) Sean A, B conjuntos acotados de Rn , y sea f : A ∪ B −→ R. Supongamos que f es integrable en A ∪ B, y que tanto A como B tienen
volumen. Entonces las restricciones de f a A, B y A ∩ B son integrables, y A∪B f = A f + B f − A∩B f .37

CAP´ITULO 4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

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En particular, en cualquiera de los casos (vii) u (viii) anteriores, si
A ∩ B tiene medida cero, entonces A∪B f = A f + B f .
Las propiedades (i) y (ii) nos dicen que el conjunto de las funciones integrables sobre un conjunto dado es un espacio vectorial, y que la integral,
definida sobre este espacio vectorial (de dimensi´on infinita), es unoperador
lineal. Por otra parte, la propiedad (vi) se conoce como teorema del valor
medio integral.
Demostraci´
on:
(i) Sea S un rect´angulo que contenga a A, y extendamos f y g a S haci´endolas
cero fuera de A, como es habitual. Sea ε > 0. Por el teorema de Darboux
1.10, existe δ1 > 0 tal que, si P1 es cualquier partici´on de S en subrect´angulos S1 , ..., SN cuyos lados tienen longitud menor o igualque δ1 , y x1 ∈ S1 ,
..., xN ∈ SN , entonces
N

|

f (xi )v(Si ) −
i=1

ε
f| ≤ .
2
A

An´alogamente, existe δ2 > 0 tal que, si P2 es cualquier partici´on de S en
subrect´angulos R1 , ..., RM cuyos lados tienen longitud menor o igual que δ2 ,
y z1 ∈ R1 , ..., zM ∈ RM , entonces
M

|

f (zi )v(Ri ) −
i=1

ε
g| ≤ .
2
A

Sea δ = m´ın{δ1 , δ2 }, entonces, para toda partici´on de S en subrect´angulos
T1, ..., TK de lados menores que δ, y para cualesquiera x1 ∈ T1 , ..., xK ∈ TK ,
se tiene que
K

|

(f (xi ) + g(xi ))v(Ti ) −

|

g| ≤
A

K

f (xi )v(Ti ) −
i=1

f−
A

i=1
K

f| + |
A

g(xi )v(Ti ) −
i=1

g| ≤
A

ε ε
+ = ε.
2 2

Teniendo en cuenta otra vez el teorema de Darboux otra vez, esto significa
que f + g es integrable en A, y A (f + g) = A f + A g.
(ii) Podemos suponer c = 0 (la conclusi´ones evidente si c = 0). Sea ε > 0.
Sea S un rect´angulo que contenga a A, y extendamos f a S poniendo f = 0
fuera de A. Como f es integrable, por el teorema de Darboux existe δ > 0

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tal que si P es una partici´on de S en subrect´angulos S1 , ..., SN de lados
menores o iguales que δ, y x1 ∈ S1 , ..., xN ∈ SN , entonces
N

|

f| ≤

f (xi )v(Si ) −
A

i=1

ε
,
|c|

lo que implica que
N

|

f | ≤ε.

cf (xi )v(Si ) − c
A

i=1

Por el teorema de Darboux, esto prueba que cf es integrable en A, y
c A f.

A cf

=

(iv) Sea S un rect´angulo que contiene a A, y extendamos f y g a S por 0 en
S \ A como es habitual. Para toda partici´on P de S, como f ≤ g tenemos
que
L(g − f, P ) ≥ 0,
luego
sup{L(g − f, P ) : P partici´on de S} ≥ 0
es decir,

A (g

− f ) ≥ 0, y aplicando (i) y (ii) se obtiene

Af≤

A g.

(iii) Como |f | es continua en todos los puntos que f lo es, tenemos que
Disc(|f |) ⊆Disc(f ), y como este u
´ltimo conjunto tiene medida cero (por
ser f integrable y por el teorema de Lebesgue), resulta que el conjunto de
discontinuidades de |f |, Disc(|f |), tiene tambi´en medida cero, luego |f | es
integrable sobre A. Adem´as, por la propiedad (iv), como −|f | ≤ f ≤ |f |,
tenemos...