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EL PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN Y ALGUNAS
APLICACIONES EN PROBABILIDAD

WILLIAM GONZALO ROJAS DURÁN

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICAS
BUCARAMANGA
2010

EL PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN Y ALGUNAS
APLICACIONES EN PROBABILIDAD

WILLIAM GONZALO ROJAS DURÁN

Monografía presentada para optar al
título de Licenciado en MatemáticasDirector
GERMÁN MORENO ARENAS, Ph.D.

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICAS
BUCARAMANGA
2010

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Agradecimientos
A LARC POR SU AMOR Y APOYO INCONDICIONAL.
A MI MADRE, HERMANAS Y SOBRINAS QUE LAS AMO CON TODO MI CORAZÓN.
A LOS PROFESORES JUAN ANDRÉS MONTOYA Y CAROLINA MEJÍA POR SU
APOYO Y POR TODA SU ENSEÑANZA BRINDADA.
Y A TODOSLOS PROFESORES POR SUS ENSEÑANZAS.

RESUMEN

TÍTULO: EL PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN Y ALGUNAS APLICACIONES EN PROBABILIDAD1
AUTOR:

WILLIAM GONZALO ROJAS DURÁN2

PALABRAS CLAVES: Principio de Inclusión-Exclusión, Combinatoria, Permutaciones y desarreglos, Cardinalidad de un Conjunto, Probabilidad.
DESCRIPCIÓN: Es importante notar que el principio de inclusión-exclusión tiene
unahistoria interesante, a este resultado se le encuentra en distintos manuscritos con
nombres como el método de la criba o el principio de clasificación cruzada. La versión de
este principio desde el punto de vista de la teoría de conjuntos se encuentra en Doctrine
of chances (1718), un texto de teoría de probabilidad de Abraham DeMoivre (16671754). Un poco antes, en (1708), Pierre Rémond deMontmort (1678-1719) usó la idea
subyacente al principio en su solución del problema que por lo general se conoce le probléme des rencontres o emparejamientos. Este trabajo prentende relacionar el principio
de inclusión-exclusión, propio de la teoría de conjuntos, con la probabilidad; estudiando
algunas aplicaciones en la resolución de problemas de esta rama de las matemáticas. El
principio deInclusión-Exclusión en su versión probabilística afirma que:
Si A1 , A2 , . . . , An son subconjuntos (eventos), de un espacio muestral Ω, entonces la
probabilidad de ocurrencia del evento A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An es
n

P

n

Ai
i=1

(−1)k−1

=
k=1

P (AI )
I⊂{1,...,n}; |I|=k

donde k = 1, . . . , n y
AI =

Ai
i∈I

Este principio es esencial en el desarrollo de situacionescotidianas de conteo y probabilidad que conciernen el cálculo de cardinalidades de ciertos conjuntos, que como se ha
dicho permite resolver problemas de probabilidad.
1

Dr. Germán Moreno Arenas, Director del Trabajo de Grado.
Programa de Licenciatura en Matemáticas, Escuela de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Industrial de Santander.
2

ABSTRACT

TITLE:

THE PRINCIPLE OFINCLUSION-EXCLUSION AND SOME APPLICATIONS IN PROBABILITY*

AUTHOR: WILLIAM GONZALO ROJAS DURÁN**
KEYWORDS: Inclusion-Exclusion Principle, Combinatory, Permutations and derangements, Cardinality of a set, Probability.
DESCRIPTION: It is important to note that the principle of inclusion-exclusion is
an interesting story, this result is found in various manuscripts with names such as the
screeningmethod or the principle of cross-classification. The version of this principle
from the viewpoint of set theory is found in Doctrine of chances (1718), a text of probability theory DeMoivre Abraham (1667-1754). A little earlier, in (1708), Comte de
Montmort (1678-1719) used the idea behind the principle in solving the problem that
is usually called him probleme des rencontres or pairings. This workpretends to relate
the inclusion-exclusion principle, characteristic of set theory, with probability, we study
some applications in solving problems of this branch of mathematics. The principle of
inclusion-exclusion probability version states:
If A1 , A2 , . . . , An are subsets (events), of a sample space Ω, then the probability of
occurrence of the event A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An is
n

n...