Capitulo_3_ _Funciones_Graficas_Rectas_Circulos
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Publicado: 4 de febrero de 2016
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Funciones
y gráficas
3.1 Sistemas de
coordenadas
rectangulares
El término matemático función (o su equivalente latino) data del siglo XVII,
3.2 Gráficas de
ecuaciones
cas y es indispensable en todos los campos de las ciencias.
cuando el cálculo estaba en las primeras etapas de desarrollo. Este importante concepto es ahora la espina dorsal decursos avanzados en matemátiEn este capítulo estudiamos propiedades de funciones con el empleo
de métodos algebraicos y gráficos que incluyen la localización de puntos,
3.3 Rectas
3.4 Definición de función
3.5 Gráficas de funciones
determinación de simetrías y cambios horizontales y verticales. Estas técnicas son adecuadas para obtener bosquejos aproximados de gráficas que
nos ayudan a entenderpropiedades de las funciones; los métodos de nuestro tiempo utilizan programas avanzados de computadoras y matemáticas
avanzadas para generar representaciones gráficas de funciones sumamente
3.6 Funciones cuadráticas
3.7 Operaciones en
funciones
precisas.
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CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS
3.1
En la sección 1.1 estudiamos la forma deasignar un número real (coordenada)
a cada punto sobre una recta. Ahora mostraremos cómo asignar un par ordenado ͑a, b͒ de números reales a cada punto en un plano. Aun cuando también
hemos empleado la notación ͑a, b͒ para denotar un intervalo abierto, hay poca
probabilidad de confusión puesto que en nuestra exposición siempre debe
estar claro si ͑a, b͒ representa un punto o un intervalo.
Introducimosun sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas,∗
en un plano por medio de dos rectas perpendiculares coordenadas, llamadas
ejes de coordenadas, que se cruzan en el origen O, como se ve en la figura 1.
Muchas veces nos referimos a la recta horizontal como eje x y a la vertical
como eje y y los marcamos como x y y, respectivamente. El plano es entonces
un plano coordenado o plano xy. Los ejescoordenados dividen el plano en
cuatro partes denominadas primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes,
marcados como I, II, III y IV, respectivamente (vea la figura 1). Los puntos
sobre los ejes no pertenecen a cuadrante alguno.
A cada punto P en un plano xy se asigna un par ordenado ͑a, b͒, como se
ve en la figura 1. A a le damos el nombre de coordenada x (o abscisa) de P, y
b es la coordenaday (u ordenada). Decimos que P tiene coordenadas ͑a, b͒
y nos referimos al punto ͑a, b͒ o punto P͑a, b͒. Recíprocamente, todo par ordenado ͑a, b͒ determina un punto P con coordenadas a y b. Se traza un punto
mediante un punto, como se ilustra en la figura 2.
Sistemas de coordenadas
rectangulares
Figura 1
Figura 2
y
y
(0, 5)
II
b
(Ϫ4, 3)
I
1
O
III
P(a, b)
1
a
IV
(5, 2)
1
x
(Ϫ4, 0)(Ϫ5, Ϫ3)
(0, 0)
O
x
1
(0, Ϫ3)
(5, Ϫ3)
Para hallar la distancia entre dos puntos de un plano coordenado se usa la
fórmula siguiente.
Fórmula de la distancia
La distancia d͑P1, P2͒ entre cualesquier dos puntos P1͑x1, y1͒ y P2͑x2, y2͒ en
un plano coordenado es
d͑P1, P2͒ ϭ 2͑x2 Ϫ x1͒2 ϩ ͑ y2 Ϫ y1͒2.
* El término cartesianas se usa en honor al matemático y filósofo René Descartes (1596-1650),que fue uno de los primeros en emplear estos sistemas de coordenadas.
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3 .1 S i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s
Figura 3
135
PRUEBA
Si x1 x2 y y1 y2, entonces, como se ilustra en la figura 3, los
puntos P1, P2 y P3͑x2, y1͒ son vértices de un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras,
y
P2 (x 2, y 2 )͓d͑P1, P2͔͒2 ϭ ͓d͑P1, P3͔͒2 ϩ ͓d͑P3, P2͔͒2.
De la figura vemos que
͉ y2 Ϫ y1 ͉
d͑P1, P3͒ ϭ ͉ x2 Ϫ x1 ͉
x
P1(x 1, y 1 )
͉ x 2 Ϫ x1 ͉
y
d͑P3, P2͒ ϭ ͉ y2 Ϫ y1 ͉.
Como ͉ a ͉2 ϭ a2 para todo número real a, podemos escribir
P3 (x 2, y 1 )
͓d͑P1, P2͔͒2 ϭ ͑x2 Ϫ x1͒2 ϩ ͑ y2 Ϫ y1͒2.
Tomando la raíz cuadrada de cada lado de la última ecuación y usando el
hecho de que d͑P1, P2͒ Ն 0 tendremos la...
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Funciones
y gráficas
3.1 Sistemas de
coordenadas
rectangulares
El término matemático función (o su equivalente latino) data del siglo XVII,
3.2 Gráficas de
ecuaciones
cas y es indispensable en todos los campos de las ciencias.
cuando el cálculo estaba en las primeras etapas de desarrollo. Este importante concepto es ahora la espina dorsal decursos avanzados en matemátiEn este capítulo estudiamos propiedades de funciones con el empleo
de métodos algebraicos y gráficos que incluyen la localización de puntos,
3.3 Rectas
3.4 Definición de función
3.5 Gráficas de funciones
determinación de simetrías y cambios horizontales y verticales. Estas técnicas son adecuadas para obtener bosquejos aproximados de gráficas que
nos ayudan a entenderpropiedades de las funciones; los métodos de nuestro tiempo utilizan programas avanzados de computadoras y matemáticas
avanzadas para generar representaciones gráficas de funciones sumamente
3.6 Funciones cuadráticas
3.7 Operaciones en
funciones
precisas.
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CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS
3.1
En la sección 1.1 estudiamos la forma deasignar un número real (coordenada)
a cada punto sobre una recta. Ahora mostraremos cómo asignar un par ordenado ͑a, b͒ de números reales a cada punto en un plano. Aun cuando también
hemos empleado la notación ͑a, b͒ para denotar un intervalo abierto, hay poca
probabilidad de confusión puesto que en nuestra exposición siempre debe
estar claro si ͑a, b͒ representa un punto o un intervalo.
Introducimosun sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas,∗
en un plano por medio de dos rectas perpendiculares coordenadas, llamadas
ejes de coordenadas, que se cruzan en el origen O, como se ve en la figura 1.
Muchas veces nos referimos a la recta horizontal como eje x y a la vertical
como eje y y los marcamos como x y y, respectivamente. El plano es entonces
un plano coordenado o plano xy. Los ejescoordenados dividen el plano en
cuatro partes denominadas primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes,
marcados como I, II, III y IV, respectivamente (vea la figura 1). Los puntos
sobre los ejes no pertenecen a cuadrante alguno.
A cada punto P en un plano xy se asigna un par ordenado ͑a, b͒, como se
ve en la figura 1. A a le damos el nombre de coordenada x (o abscisa) de P, y
b es la coordenaday (u ordenada). Decimos que P tiene coordenadas ͑a, b͒
y nos referimos al punto ͑a, b͒ o punto P͑a, b͒. Recíprocamente, todo par ordenado ͑a, b͒ determina un punto P con coordenadas a y b. Se traza un punto
mediante un punto, como se ilustra en la figura 2.
Sistemas de coordenadas
rectangulares
Figura 1
Figura 2
y
y
(0, 5)
II
b
(Ϫ4, 3)
I
1
O
III
P(a, b)
1
a
IV
(5, 2)
1
x
(Ϫ4, 0)(Ϫ5, Ϫ3)
(0, 0)
O
x
1
(0, Ϫ3)
(5, Ϫ3)
Para hallar la distancia entre dos puntos de un plano coordenado se usa la
fórmula siguiente.
Fórmula de la distancia
La distancia d͑P1, P2͒ entre cualesquier dos puntos P1͑x1, y1͒ y P2͑x2, y2͒ en
un plano coordenado es
d͑P1, P2͒ ϭ 2͑x2 Ϫ x1͒2 ϩ ͑ y2 Ϫ y1͒2.
* El término cartesianas se usa en honor al matemático y filósofo René Descartes (1596-1650),que fue uno de los primeros en emplear estos sistemas de coordenadas.
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3 .1 S i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s
Figura 3
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PRUEBA
Si x1 x2 y y1 y2, entonces, como se ilustra en la figura 3, los
puntos P1, P2 y P3͑x2, y1͒ son vértices de un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras,
y
P2 (x 2, y 2 )͓d͑P1, P2͔͒2 ϭ ͓d͑P1, P3͔͒2 ϩ ͓d͑P3, P2͔͒2.
De la figura vemos que
͉ y2 Ϫ y1 ͉
d͑P1, P3͒ ϭ ͉ x2 Ϫ x1 ͉
x
P1(x 1, y 1 )
͉ x 2 Ϫ x1 ͉
y
d͑P3, P2͒ ϭ ͉ y2 Ϫ y1 ͉.
Como ͉ a ͉2 ϭ a2 para todo número real a, podemos escribir
P3 (x 2, y 1 )
͓d͑P1, P2͔͒2 ϭ ͑x2 Ϫ x1͒2 ϩ ͑ y2 Ϫ y1͒2.
Tomando la raíz cuadrada de cada lado de la última ecuación y usando el
hecho de que d͑P1, P2͒ Ն 0 tendremos la...
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