Capitulo 5

Capítulo 5

Cuanticando nuestras esperanzas
5.1. Introducción

¿Llevaré un paraguas?, ¿estudiaré para el examen?, ¿invertiré mi dinero en la bolsa?, ¿me casaré? Cada vez que nos hacemos una pregunta como las anteriores debemos tomar una decisión. Ésta puede ser tan simple como llevar o no un paraguas o bien tan compleja como decidir compartir nuestra vida con otra persona. Asumiendo quesomos racionales, nuestra decisión la tomaremos en base a evaluar las consecuencias que se derivan de la misma. Lo ideal sería asignar algún número al valor que las consecuencias tienen para nosotros. Por ejemplo, si llevo el paraguas y llueve, esto me proporciona una satisfacción de 5 puntos. Si no llevo el paraguas y llueve, entonces el mojarse me causa un disgusto de 6 puntos. Si llevo paraguas yno llueve, la inconveniencia me causa 1 punto y si no llevo paraguas y no llueve, entonces mi agrado vale 4 puntos. Si adicionalmente, el meteorólogo nos dice que la probabilidad de que llueva es del 45 %, nuestra decisión también tomaría esto en cuenta. Pensemos ahora en una versión simplicada del sorteo Melate, en la cual c °2009. B.Rumbos.

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Capítulo 5. Cuantificando nuestrasesperanzas

sólo hay una combinación ganadora y un premio1 . En el ejemplo 3.2.5 vimos que había 18009460 combinaciones posibles de números. La probabilidad de 1 ganar la calculamos como 18009460 = El precio de cada combinación de seis números es de $15. Si hay Q millones de pesos en la bolsa Melate, entonces 1 podemos ganar Q millones con probabilidad 18009460 = Comparemos el valor Q× 1 > 18009460que representa el premio ponderado por la probabilidad de ganarlo o premio esperado, con $15, que es el costo de adquirir un boleto. Observamos que para Q = $270 141 900 ambos valores coinciden. Para entender mejor qué signica esto, simpliquemos el sorteo suponiendo que el premio no se va a compartir. Si tuviésemos $270 141 900 pesos, podríamos comprar todas y cada una de las combinaciones deMelate, ya que 15 × 18009460 = 270 141 900= Si la bolsa fuese mayor a esta cantidad, entonces obtendríamos una ganacia segura al comprar todas las combinaciones. Claro está que en la práctica, más de una persona puede tener la combinación ganadora y la probabilidad de ganar todo el premio es aún menor, de manera que el valor esperado sería negativo. Adicionalmente, los pocos afortunados que cuentancon dicha cantidad de dinero, ¡seguramente tienen oportunidades menos riesgosas de inversión!

5.2.

Variables aleatorias

Si una variable, digamos [> puede tomar valores numéricos, cada uno con cierta probabilidad, decimos que se trata de una variable aleatoria. El mejor ejemplo es pensar en [ como los premios o pérdidas asociados a un evento aleatorio como podría ser el lanzar una moneda ogirar una
En realidad la bolsa acumulada se reparte entre el número de ganadores y varios premios menores, según el número de cifras acertadas entre dos y seis.
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c °2009. B.Rumbos.

§5.2 Variables aleatorias

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ruleta. Formalmente, una variable aleatoria es una regla que asigna un valor numérico a los elementos de un espacio muestral. Si [ es una variable aleatoria y u es algúnresultado de un espacio muestral, denotamos por [(u) al valor numérico asociado a este resultado. Supongamos que [ es una variable aleatoria tal que dado un conjunto de resultados inciertos {u1 > ===> uq }> ésta toma valores [1 = [(u1 )> ===> [q = [(uq ). Notemos que éstos no necesariamente son distintos. La probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor [l se denota por, S ([ = [l )= A laregla de correspondencia que asigna a cada valor [l su probabilidad S ([ = [l )> se le llama la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. Si denotamos a esta regla por i tenemos que i ([l ) = S ([ = [l )=

Ejemplos
Ej 5.2.1 Vamos a utilizar la información del párrafo introductorio acerca de los valores obtenidos cuando tomamos la decisión de llevar o no paraguas. Pensemos en...