Carta del prwsidente

ECUACIONES DIFERENCIALES CON SOLUCION GRAFICA
Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden idealizarse matemáticamente en la forma de estas ecuaciones. En particular, el estudio de problemas de equilibrio de sistemas continuos se encuentra dentro de este contexto.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.
Dadauna ecuación diferencial ordinaria de orden n y cualquier grado, cuya forma general es:
| | (1) |
Se establece en matemáticas que en su solución general deben aparecer n constantes arbitrarias. Entonces, puede aceptarse que la solución general de (1) es:
G(X, Y, C1, C 2, ... , C n) = 0 | | (2) |
Gráficamente esta ecuación representa una familia de curvas planas, cada una de ellasobtenidas para valores particulares de las n constantes, C1, C2, ... , Cn, como se ve en la gráfica:
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Fig. 1
Cada una de estas curvas corresponde a una solución particular de la ecuación diferencial (1) y analíticamente puede obtenerse sujetando la solución general (2) a n condiciones independientes que permiten valuar las constantes arbitrarias.
Dependiendo de cómo se establezcan estascondiciones, se distinguen dos tipos de problemas: los llamados de Valores Iniciales y los de Valores en la Frontera.
Un problema de valores iniciales está gobernado por una ecuación diferencial de orden n y un conjunto de n condiciones independientes todas ellas, válidas para el mismo punto inicial. Si la ecuación (1) es la ecuación diferencial que define el problema, y X = a es el punto inicial, puedeaceptarse que las n condiciones independientes son:
| | (3) |
Se tratará de obtener una solución particular de (1) que verifique (3) como se presenta en la gráfica
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Fig. 2

Por el contrario, en los problemas de valores en la frontera deben establecerse condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos que constituyen la frontera del dominio de soluciones del problema. Enparticular en el espacio de una dimensión, hay dos puntos frontera, por ejemplo, X = a y X = b, si el dominio de soluciones es el intervalo cerrado; por esto mismo el orden mínimo de la ecuación diferencial de un problema de valores en la frontera será dos y como podemos observar en la siguiente gráfica:
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Fig. 3
Básicamente la solución numérica de ecuaciones diferenciales consiste en sustituirel dominio continuo de soluciones por uno discreto formado por puntos aislados igualmente espaciados entre sí.
Así, en un problema de valores iníciales, el dominio de definición de soluciones se sustituye por el conjunto infinito numerable de puntos,
X0 = a, X 1 = X 0 + h, X 2 = X 0 + 2h, X 3 = X 0 + 3h
Y en el caso de valores en la frontera se sustituye el intervalo por el conjunto finitode puntos
X0 = a, X 1 = X 0 + h, X 2 = X 0 + 2h, ... , X n = X 0 + nh = b
obtenidos, al dividir el intervalo en n partes iguales.
La presentación gráfica muestra estas dos cosas:
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Fig. 4
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Fig. 5
Campos de direcciones
Considérese una función diferenciable en un punto (x0,y0). La recta tangente a la gráfica de f en el punto (x0,y0) viene dada por la ecuación
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Es biensabido que esta recta es localmente muy similar a la gráfica de f cerca del punto (x0,y0). Este hecho es de gran ayuda para entender de manera cualitativa ecuaciones diferenciales cuando no es posible encontrar una solución de la misma.
La idea es trazar pequeños segmentos de recta que serán tangentes a la gráfica de la solución de una ecuación diferencial, ya que éstos sugerirán la forma de lacurva integral correspondiente a una solución de la ecuación diferencial. Ilustremos esta idea con un ejemplo.
Consideremos la ecuación diferencial
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Puesto que está definida para cualesquiera, somos libres de elegir cualquier valor para x e y. Por ejemplo, en el origen, vemos que vale 0. Trazamos entonces un pequeño segmento de recta de pendiente 0, el cual será localmente similar...