Ceremonia

Métodos numéricos para aproximación de soluciones para EDO con condición inicial

Método de Euler
Este método tiene por objeto encontrar la solución numérica de un problema bien planteado de valorinicial.
dydt=ft,y, a≤t≤b, fa=α (I)
Para dar la solución numérica partiremos del teorema de Taylor.Supongamos que yt es la solución única de la ecuación (I), yt tiene hasta su segunda derivada continua en [a,b] , entonces:
yti+1=yti+ti+1-tiy´ti+ti+1-ti22y´´(εi)
Para alguna εi en ti,ti+1 . Ahora sitomamos h=ti+1-ti
yti+1=yti+hy´ti+h22y´´(εi)
Y como y´t satisface la ecuación (I)
yti+1=yti+hf(ti,y(ti))+h22y´´(εi)
Como lo que estamos encontrando va ser un vector de n coordenadas, es decir algodiscreto, lo denotaremos por w . Una ves obteniendo la ecuación anterior podemos despreciar el ultimo termino ya que sabemos que es muy pequeño.
wi+1=wi+hf(ti,wi)
Donde h=b-an , w0=α∀ i=0,1,…,n-1
Métodos con error de truncamiento O(h2).
Para este método y los siguientes que vamos ha estar viendo también se utiliza el teorema de Taylor para su deducción, pero en estecaso será el de dos variables el cual no dice:
Supóngase f(t,y) y todas sus derivadas parciales de orden menor o igual a n+1 son continuas en D don de D=(t,y)a≤t≤b, c≤y≤d. Sea (t0,y0)∈D. ∀ t,y∈D ∃ε∈t0,t y μ∈y0,y tal que:
ft,y=Pnt,y+Rn(t,y) (II)

Donde :Pnt,y=ft0,y0+t-t0∂ft0,y0∂t+y-y0∂ft0,y0∂y+t-t022∂2ft0,y0∂t2 +t-t0y-y02∂ft0,y0∂t∂y+y-y022∂2ft0,y0∂y2+…+ 1n!j=0nnjt-t0n-jy-y0j∂nft0,y0∂tn-j∂yj
Rnt,y= 1(n+1)!j=0nn+1jt-t0n+1-jy-y0j∂n+1fε,μ∂tn+1-j∂yj
A la función Pnt,y se lellama n-ésimo polinomios de Taylor de dos variables para la función f alrededor de t0,y0 y Rnt,y es el termino residual asociado a Pn(t,y).
La forma mas apropiada de cuatro parámetros para...