charlesmate

1. Funciones diferenciables
Volvamos sobre el significado de la derivada de una funci´on real de una variable real,
Como vimos en el cap´ıtulo anterior, f : (a, b) −→ R derivable en x0 , equivale a que
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena

lim

x→x0

lo que a su vez equivale a que
lim

x→x0
Funciones . . .
Regla de la Cadena

f (x) − f (x0 )
= f (x0 )
x − x0

f (x) − f (x0 ) − f (x0 )(x −x0 )
f (x) − y(x)
= lim
=0
x→x
x − x0
x − x0
0

donde y(x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) es la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en x0 .

f (x)

Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena

f (x0 )

x0
Funciones . . .
Regla de la Cadena

y(x)

x

Con cualquier recta y(x) = f (x0 ) + m(x − x0 ) que pase por el punto (x0 , f (x0 ) y tenga
pendiente m, el l´ımite
lim

x→x0

f (x) −y(x)
x − x0

es una indeterminaci´on del tipo 0/0, pero s´olo en el caso de la recta tangente, el valor del l´ımite
es cero.
En el caso de funciones de dos variables, para que el plano generado por las rectas tangentes
en las direcciones de los ejes sea de verdad un plano tangente a la gr´afica de f en x0 se necesita
que

lim

f (x, y) − f (x0 , y0 ) −

(x,y)→(x0 ,y0 )

df
(x0 , y0 )(x
dx

− x0 )−

df
(x0 , y0 )(y
dy

(x, y) − (x0 , y0 )

− y0 )

=0

y
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena

Funciones . . .
Regla de la Cadena

df
df
(x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 )
dx
dy
es la ecuaci´on del plano tangente
Esta f´ormula se puede generalizar para funciones vectoriales de n variables, buscando la
ecuaci´on de un subespacio af´ın de dimensi´on n en Rm , que pase por F (x0 )que sea“tangente” a
F.
Llamando {v1 , . . . , vn } a la familia de los vectores directores del subespacio, su ecuaci´on es
de la forma
z(x, y) = f (x0 , y0 ) +

x = F (x0 ) + h1 v1 + · · · + hn vn
donde h1 , . . . , hn son n´umeros reales. Escribiendo las coordenadas de cada vector, ponemos
vi = (vi1 , . . . , vim ) para cada i entre 1 y n, y la ecuaci´on anterior queda
 


 
h1
x1
f1 (x0 )v11 . . . vn1
  ..
 ..  
..
..   .. 
..
+ .
 . =
.
.  . 
.
fm (x0 )
v1m . . . vnm
hn
xm


La aplicaci´onL : Rn −→ Rm definida por


v11 . . . vn1

..  
..
L(h1 , . . . , hn ) =  ...
.
. 
v1m . . . vnm
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena

Funciones . . .


h1
.. 
. 
hn

es una aplicaci´on lineal de Rn en Rm , asociada al espacio af´ın, de modo que la ecuaci´ondel
subespacio se puede escribir
x = F (x0 ) + L(h); h ∈ Rn
La descripci´on anal´ıtica del hecho de que este subespacio af´ın sea tangente a la imagen de F
en x0 se expresa de la siguiente manera

Regla de la Cadena

lim

F (x0 + h) − F (x0 ) − L(h)

h→0

h

=0

o para que se parezca m´as a las ecuaciones anteriores de la recta y el plano tangente, llamando
x = x0 + h
lim

x→x0

F (x) − F (x0 ) −L(x − x0 )
=0
x − x0

Definici´
on (Funci´on diferenciable).
Sea U un abierto de Rn , F : U −→ Rm una funci´on, y x0 ∈ U un punto de U . Se dice que F
es diferenciable en x0 si existe una aplicaci´on lineal Lx0 : Rn −→ Rm que verifica
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena

Funciones . . .
Regla de la Cadena

lim
h→0

F (x0 + h) − F (x0 ) − Lx0 (h)
h

= 0 (∈ Rm )

Esta aplicaci´on lineal sedenomina ”diferencial de F en x0 ”, y se denota por dF (x0 )

Observaciones:
1. dF (x0 ) est´a bien definida, en el sentido de que si existe alguna aplicaci´on lineal cumpliendo
la condici´on de arriba, es u´nica.
Funciones
Diferenciables.
Regla de la
Cadena

En efecto, supongamos que adem´as de Lx0 hay otra aplicaci´on lineal L de Rn en Rm ,
L = Lx0 , que verifica tambi´en
F (x0 + h) − F (x0 )− L(h)
=0
h→0
h
lim

Entonces
Funciones . . .
Regla de la Cadena

F (x0 + h) − F (x0 ) − L(h)
F (x0 + h) − F (x0 ) − Lx0 (h)
= lim
=0
h→0
h→0
h
h
lim

y pasando todo al mismo lado de la igualdad
lim

h→0

F (x0 + h) − F (x0 ) − L(h) F (x0 + h) − F (x0 ) − Lx0 (h)
−
h
h

de donde, operando, queda
L(h) − Lx0 (h)
=0
h→0
h
lim

=0

Ahora bien, si L = Lx0 , existe alg´un vector v = 0 en Rn tal que...