chusta

Capítol 3

1

Zeros de funcions

Zeros de funcions

2

Introducció

Objectiu: Calcular les solucions (o arrels) d’una equació
f (x ) = 0 .
Les solucions s’anomenen els zeros de f . I si f és un polinomi
s’nomenen també arrels de f .
0.1
x**3-1.35*x**2+0.49*x-0.05
0.08

0.06

0.04

0.02

0

-0.02

-0.04

-0.06
0

0.2

0.4

0.6

0.8

f (x ) = x 3 − 1.35 x2 + 0.49 x − 0.05

1

Zeros de funcions
Estratègia

1

Localització: Buscar on es troben els zeros.

2

Separació: Determinar dominis que continguin una única
solució/zero/arrel de l’equació.

3

Aproximació: Calcular una successió de valors que convergeixi
cap a l’arrel buscada.

3

Mètode de bissecció
El teorema de Bolzano (I)

Teorema de Bolzano.
Sigui f : [a, b] →R contínua tal que f (a)f (b) < 0. Llavors, existeix
α ∈ (a, b) tal que f (α) = 0.
Demostració: Mètode de bissecció.
0) Fem [a0 , b0 ] = [a, b], n = 0.
1) Per l’interval [an , bn ], on f (an )f (bn ) < 0, calculem el punt
cn+1 = (an + bn )/2.
2) Pot passar que:
f (cn+1 ) = 0, llavors α = cn+1 i parem el procés;
f (an )f (cn+1 ) < 0, i prenem [an+1 , bn+1 ] = [an , cn+1 ];
f (cn+1 )f (bn) < 0, i prenem [an+1 , bn+1 ] = [cn+1 , bn ].

3) Assignem n = n + 1 i anem al pas 1).

4

Mètode de bissecció

5

El teorema de Bolzano (i II)

Si el procés para, és perquè hem trobat un zero α.
Si no es para el procés, es construeix una successió d’intervals
encaixats
[a, b] = [a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . ,
la longitud dels quals tendeix cap a zero. Pertant, existeix α tal que
lim an = lim bn = α .

n→∞

n→∞

Llavors,
lim f (an ) = lim f (bn ) = f (α) .

n→∞

n→∞

Com f (an )f (bn ) < 0 per a tot n, tenim,
0 ≥ lim f (an )f (bn ) = f (α)2 .
n→∞

Això només és possible si f (α) = 0.
q.e.d.

Mètode de bissecció
Teorema de Rolle i Aplicacions

Teorema de Rolle.
Sigui f : [a, b] → R contínua en [a, b] i derivable en (a, b).Suposem
que f (a) = f (b). Llavors, existeix β ∈ (a, b) tal que f (β ) = 0.
Corol·lari (Bolzano + Rolle).
Sigui f : [a, b] → R contínua en [a, b] i derivable en (a, b). Suposem
que f (a)f (b) < 0 i que f (x ) = 0 per tot x ∈ (a, b). Llavors, existeix un
únic α ∈ (a, b) tal que f (α) = 0.

6

Mètode de bissecció
Comentaris finals

El Teorema de Bolzano és una eina per localitzar zerosde
funcions. Ens diu que hi ha zeros en un cert interval, però no
quants.
El Teorema de Bolzano i el Teorema de Rolle, cas que es
compleixin les hipòtesi per a la nostra funció, permeten
demostrar que hi ha una única solució en un cert interval.
La demostració del Teorema de Bolzano dóna un mètode de
càlcul d’un zero de la funció: el mètode de bissecció.
Des del punt de vista teòric, elprocés de bissecció pot ser infinit.
Des del punt de vista numèric, pararem el procés quan f (cn ) ó
bn − an sigui prou petits, per sota d’una certa tolerància.
El mètode de bissecció és sempre convergent.

7

Mètode de bissecció
Exemple

Exemple: Volem cercar els zeros de l’equació
f (x ) = exp(x − 0.5) − 2x + 0.35.
1) Estudi de la funció. Com f (x ) = exp(x − 0.5) − 2, llavors lafunció té un únic extrem local a xm = log(2) + .5 1.19315. Més
precisament:
la funció és estrictament decreixent a (−∞, xm );
la funció és estrictament creixent a (xm , +∞);
xm és un mínim global, i a més
f (xm ) = 1.35 − 2 log(2) −0.0362944 < 0.

A més, com lim f (x ) = +∞ i lim f (x ) = +∞, llavors deduim
x →−∞
x →+∞
que
f té un únic zero α1 a l’interval (−∞, xm );
f té un únic zero α2 al’interval (xm , +∞);
Els únics zeros de f són α1 i α2 .

8

Mètode de bissecció
Exemple: Representació gràfica

9

Mètode de bissecció

10

Exemple: Càlcul de α1

2) Càlcul d’α1 (amb 8 xifres): α1 = 0.99639033
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

an
0.950000000
0.950000000
0.975000000
0.987500000
0.993750000...