ciecunferencia

Circunferencia

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA

(

)

Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos P x , y que equidistan de un punto
fijo en el plano llamado centro. La distancia que existe de cualquiera de sus puntos al centro recibe elnombre de radio.
Cabe señalar que una circunferencia y un círculo no son sinónimos, ya que un círculo es la porción del
plano comprendida y limitada por una circunferencia, es decir, toda su región interior.
Si el centro de la circunferencia se ubica en el punto de coordenadas
como la siguiente:

(h,k ) , su gráfica tendrá una forma

PC = r

y

P(x,y)

r
k

C(h,k)

h

xPara obtener la ecuación que describe a este lugar geométrico, se aplica la fórmula de distancia entre los
puntos

P (x , y ) y C (h ,k ) :

d = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2
Pero por definición, esta distancia es igual al radio

r , por lo tanto:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r
elevando al cuadrado:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2
que es la ecuación ordinaria o canónica de la circunferenciacon centro en
1

(h,k ) y radio

r.

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Para el caso especial en que el centro se localiza en el origen, esta ecuación toma la forma:

x2 + y2 = r 2
Ejemplos.
1) Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en
Solución.

C (3,− 7) y que tenga radio seis.

h = 3, k = −7, r = 6 , aplicando la fórmula:

(x − 3)2 + ( y − (− 7))2 = 6 2
⇒

⇒

(x − 3)2 + ( y + 7)2 = 36

⇒ x 2 − 6x + 9 + y 2 + 14 y + 49 = 36

x 2 + y 2 − 6 x + 14 y + 22 = 0

2) Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y de radio cuatro.
Solución.
Como se trata del caso especial se aplica la fórmula: x + y = r , esto es:
2

x2 + y 2 = 42

⇒

x 2 + y 2 = 16⇒

2

2

x 2 + y 2 − 16 = 0

3) Hallar la ecuación de la circunferencia que sea tangente a las rectas y = 6 , y = −4 y que esté sobre el eje
y.
Solución.
Graficando:

y

y=6

5

C(0,1)

x
5
y=-4

6 + (− 4) 2
= = 1 , por lo tanto, al estar sobre
2
2
el eje y , tiene abscisa x = 0 , y el centro será C (0,1) . El radio es r = 6 − 1 = 1 − (−4) = 5 , por lo que
Se observaque el punto medio de las dos rectas es

aplicando la fórmula se tiene:

(x − 0)2 + ( y − 1)2 = 52

y=

⇒ x 2 + ( y − 1)2 = 25 ⇒ x 2 + y 2 − 2 y + 1 = 25

⇒ x 2 + y 2 − 2 y − 24 = 0
2

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Sea la ecuación ordinaria: ( x − h ) + ( y − k )
22

= r2

desarrollando se tiene: x − 2hx + h + y − 2 yk + k
2

2

2

acomodando: x − 2hx + y − 2 yk + h + k
2

2

2

2

2

= r2

− r2 = 0

ahora, si se hacen los siguientes cambios de variable: D = −2h,
y si se sustituyen, la ecuación resultante es:

E = −2k , F = h 2 + y 2 − r 2

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
expresión conocida como ecuación general de lacircunferencia.
Ejemplo.
Obtener la ecuación general de la circunferencia con centro en

P (9,1) .

C (−3,6) y que pase por el punto

Solución.
Al no tener el radio como dato debe encontrarse mediante la distancia que separa a los puntos. Esa
distancia viene dada por: r = d = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) , considerando a
2

centro como punto dos: r =

P como punto uno y al

(6 − 1) 2 + (−3 − 9) 2 = 5 2 + (−12) 2 = 25 + 144 = 169 = 13

sustituyendo se tiene:

(x − (− 3))2 + ( y − 6)2 = 132

2

⇒

(x + 3)2 + ( y − 6)2 = 169

⇒ x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 12 y + 36 = 169

⇒ x 2 + y 2 − 6 x − 12 y − 124 = 0
OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN ORDINARIA A PARTIR DE LA ECUACIÓN
GENERAL
Sea la ecuación general: x + y + Dx + Ey + F = 0
2

2

acomodando convenientemente: x + Dx + y...