Ciencia
Número racional
En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a ydenominador distinto de cero b. El término racional alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de losnúmeros racionales se denota por Q (o bien , en Blackboard bold) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales ().
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistemadecimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.
En sentido estricto,número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre .
Contenido [ocultar] * 1 Construcción formal *2 Aritmética de los números racionales * 2.1 Definición de suma y multiplicación en Q * 2.2 Relaciones de equivalencia y orden en Q * 2.3 Existencia de neutros e inversos * 2.4 Equivalencias notables en Q * 2.5 Propiedades * 3 Escritura decimal * 3.1 Representación racional de los números decimales * 3.2 Desarrollo decimal de los números racionales * 3.3 Númeroracional en otras bases * 4 Propiedades topológicas de los números racionales * 4.1 Número p-ádico * 5 Véase también * 6 Referencias * 7 Bibliografía |
-------------------------------------------------
[editar]Construcción formal
Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes
Se puede ver un número racional como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con lasiguiente relación de equivalencia:
[mostrar]Demostración |
El conjunto de los números racionales .
-------------------------------------------------
[editar]Aritmética de los números racionales
Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
[editar]Definición de suma y multiplicación en Q
* Se define la suma
* Se define la multiplicación
[editar]Relaciones deequivalencia y orden en Q
* Se define la equivalencia cuando
* Los racionales positivos son todos los tales que
* Los racionales negativos son todos los tales que
* Se define el orden cuando
[editar]Existencia de neutros e inversos
* Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
* Para cualquiernúmero racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.
* Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que
* Cada número racional: con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo tal que
[editar]Equivalencias notables en Q
* Todo número entero se puede escribir como fracción
* con y
*
*
* con y
* con y .
[editar]Propiedades
* El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros .
* Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
* La clausura algebraica de , es el conjunto de los números algebraicos.
* El conjunto de los números racionales...
Regístrate para leer el documento completo.