CIENCIAS GA SEM 5 1





PRE USIL


ÁREA DE CIENCIAS



Guía de estudio:
GEOMETRÍA ANALÍTICA

Semana 5




2014-02



























Definición. Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de forma tal que la suma de las distancias de dicho punto a otros dos puntos fijos es una constante.
Los puntos fijos se llaman focos, el punto medio del segmento que los une es el centrode la elipse y la recta que pasa por ellos es el eje mayor.












































ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS:


I. EJE FOCAL CONTENIDO EN EL EJE X;





; a > b











II. EJE FOCAL CONTENIDO EN EL EJE Y:



; a > bEJEMPLO 1
Sea la ecuación de una Elipse: 16x2 + 25y2 = 400. Determine:
a) La longitud del semieje mayor y semieje menor
b) Las coordenadas de los vértices y focos
c) La excentricidad
d) La longitud del lado recto

Resolución.
i) Dividiendo ambos lados de la ecuación entre 400, se tiene:


La cual representa una elipse con centro en el origen y eje focal el eje X:



ii) Entonces loselementos de la elipse son:
Gráfico:
Vértices:
V(a; 0) = V(5; 0) y V´(-a; 0) = V´(-5; 0)

Covértices:
B(0; b) = B(0; 4) y B´(0; -b) = B´(0; -4)

Focos:
F(c; 0) = F(3; 0) y F´(-c; 0) = F´(-3; 0)

Extremos del lado recto:
L (3; -16/5) y R(3; 16/5) ,
L´(-3; -16/5) y R´(-3; 16/5)

Longitud del lado recto:
LR = 2b2 / a = 32/5

Excentricidad : e = c / a = 3/5



EJEMPLO 2
Sea la ecuación de una Elipse: 16x2 + 9y2= 576. Determine:

a) Las longitudes del semieje mayor y semieje menor
b) Las coordenadas de los vértices y focos
c) La excentricidad y
d) La longitud del lado recto

Resolución.

i) Dividiendo ambos lados de la ecuación entre 576, se tiene:


La cual representa una elipse con centro en el origen y eje focal el eje Y.ii) Entonces los elementos de la elipse son
Vértices:
V(0; a) = V(0; 8) y V´(0; -a) = V´(0; -8)

Covértices:
B(b; 0) = B(6; 0) y B(-b; 0) = B´(-6; 0)

Focos:
F( 0; c) = F(0; ) y

F´( 0; - c) = F´(0; -) :


Longitud del lado recto:
LR = 2b2 / a = 72 / 8 = 9Excentricidad:
e = c / a = / 8 = / 4




EJEMPLO 3

En la figura, D(0; –2), AB = 6m y AO = OB.
Halle la ecuación de la elipse.


Resolución



.
i) Vemos que: 2a = 6, entonces: a = 3 y como
D(0; –2), entonces: b = 2ii) Finalmente:


EJEMPLO 4

En la figura, T es punto de tangencia, F es un foco de la elipse y B es centro de la circunferencia C :.
Determine la ecuación de la elipse.








Resolución


i) En la ecuación de la circunferencia completamos cuadrados:

x2 + (y – 3)2 = 32 ; de donde r = 3

ii) Por otro lado: c = b = r = 3
Así mismo: a2 = b2 + c2,
de donde a = 3Finalmente:






FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
Desarrollando la ecuación ordinaria; hallaremos una expresión de la forma:



Que representa la forma general de una elipse. A y B tienen el mismo signo con A ≠ B.

EJEMPLO 5
Determine la ecuación de la elipse con centro en C(5; 1) y un vértice en V1(5; 4), además un extremo del eje menor es B1(3; 1).Resolución:
i) Como el vértice es V1 (5; 4) entonces h = 5 y k = 1.
ii) Hallemos a , b y c.


iii) Entonces los elementos de la elipse son:




La ecuación será:



EJEMPLO 6

La figura representa la entrada de una iglesia
que tiene forma semielíptica. Para colocar una puerta,
se necesita una tabla fija representada por como
soporte horizontal, a una distancia de 2...