ciencias

PROBLEMAS DE TEOREMA DE GREEN
ENUNCIADO DEL TEOREMA
Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea
F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadastienen derivadas
parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C.
Entonces:
 ∂Q

∂P 

∫∫  ∂x − ∂y dA = ∫ F· dr = ∫ Pdx + Qdy




D

C

CPROBLEMAS RESUELTOS
1.) Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar

∫x

4

dx + xydx ,

C

donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0),orientada
positivamente.
SOLUCIÓN:

y
1

y=1-x

La gráfica indica la región encerrada por la curva C.
Tenemos:

∂P
=0
∂y
∂Q
Q( x; y ) = xy ⇒
=y
∂x
P ( x; y ) = x 4 ⇒

1

x

Porlo tanto:
1 1− x
1
1
 ∂Q ∂P 
2
1
 1 2 1− x 
dx + xydx = ∫∫ 
 ∂x − ∂y dA = ∫0 ∫0 ydydx = ∫0  2 y 0 dx = ∫0 2 (1 − x ) dx =




C
D
1
31
= − 1 (1 − x ) =
6
0
6

∫x4

Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3
integrales con las correspondientes parametrizaciones.s

2.) Determinación de un área mediante una integralde línea. Determine el área de la
región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial
r(t) = cos3t i + sen3t j , 0 ≤ t ≤ 2π

y

SOLUCIÓN:

1

De la parametrización de la curvatenemos:

-1

x = cos t ⇒ x = cos t
y = sen3t ⇒ y2/3 = sen2t
3

2/3

1

x

2

-1

Sumando miembro a miembro tenemos:

(

x2/3 + y 2/3 = 1 ⇒ y = ± 1− x2/3

)

3/ 2

(
)
12/3 3/ 2
∫−(1− x ) dydx = ∫−1 2(1 − x ) dx
−1
1

⇒ A=∫

+ 1− x 2 / 3

3/ 2

2/3 3/ 2

Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green
nos permitetransformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la
hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la integración.
Veamos:
El área de una región D viene dada...