ciencias


AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMÁTICO




AREA : INVESTIGACIÒN OPERATIVA II






DOCENTE: JULIO ANGELES MORALES






ALUMNA: LEYLA CONTRERAS CHAUCA







TEMA: PROGRAMACIÒN NO LINEAL










CHIMBOTE _ PERU






PROGRAMACIÒN NO LINEAL


Los problemas de programación lineal son muy comunes y cubren unamplio rango de aplicaciones, en la vida real uno se tiene que enfrentar con cierta frecuencia a otro tipo de problemas que no son lineales. Cuando el conjunto de restricciones, la función objetivo, o ambos, son no lineales, se dice que se trata de un problema de programación no lineal.

Problemas PNL:

Problema de transporte con descuentos por cantidad.
El precio unitario de transporte entreun origen y un destino es decreciente en función de la cantidad a transportar.

Problema de flujo de cargas en un sistema eléctrico.
Las pérdidas son no lineales.

De manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar
x = (x1, x2,. . ., xn) para maximizar f (x):

Sujeto a

gi(x) ≤ bi, para i = 1, 2, . . ., m

y

x ≥ 0

donde f (x) y gi(x) son funcionesdadas de n variables de decisión

Aplicación
CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Y DUALIDAD LAGRANGIANA
El método de multiplicadores de Lagrange (el cual es generalizado por las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker) permite abordar la resolución de modelos de programación no lineal que consideran restricciones de igualdad. En este sentido y como resulta natural, el dominio de solucionesfactibles considerará exclusivamente aquellas soluciones que permiten verificar el cumplimiento de la igualdad de dichas restricciones. Por el contrario, un problema de optimización que considera inecuaciones como restricciones, sólo requiere que éstas se cumplan y no necesariamente se deberá forzar el cumplimiento de ellas en igualdad (activas).
En general las condiciones de Lagrange se aplican a unproblema que tiene la siguiente estructura:

Que da origen a la función Lagrangiana asociada a dicho problema:

Consideremos el siguiente problema de programación no lineal restringido que nos permitirá ilustrar la aplicación del método de Lagrange.

Notar que el problema adopta la estructura estándar previamente descrita y considera una única restricción de igualdad. No se incluye enparticular condiciones de no negatividad, que en caso de estar presentes justificarían la aplicación del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker.
En este contexto, un mínimo local para el problema propuesto debe satisfacer las condiciones necesarias de primer orden de Lagrange:



Que da origen al siguiente sistema de ecuaciones:

Donde la resolución corresponde a x1=2, x2=2 y λ1=-4. Notar que elmultiplicador de Lagrange asociado a una restricción de igualdad es libre de signo, en consecuencia la solución propuesta satisface las condiciones necesarias de primer orden.
Adicionalmente se cumplen las condiciones de segundo orden pues:

Es positiva definida (función objetivo estrictamente convexa y restricción lineal que define un conjunto convexo). Luego, el problema es convexo y enconsecuencia  x1=2 y x2=2 es mínimo global y solución óptima del problema. Este resultado por cierto es consistente con la representación gráfica del problema, donde la solución óptima corresponde al punto A, donde la restricción (color naranja) es tangente a la curva de nivel que representa a la circunferencia de menor radio que intercepta el dominio de soluciones factibles.










Las condicionesde optimalidad de Karush Kuhn Tucker (KKT) permiten abordar la resolución de modelos de Programación No Lineal que consideran tanto restricciones de igualdad como desigualdad. En términos comparativos las condiciones de KKT son más generales que el Método de Lagrange el cual se puede aplicar a problemas no lineales que consideran exclusivamente restricciones de igualdad. El Teorema de Karush...