Ciencias

Integral indefinida
La expresión

f(x) dx

se lee "la integral indefinida de f(x) respecto a x," y representa el conjuncto de todas las antiderivadas de f.

Entonces, ∫ f(x) dx es una colección de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración. (La expresión dx significa"respecto a x.")


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1. 4x3 dx = x4 + C C es una constante arbitraria
2. 2x dx = x2 + C


La constante de integración, C, nos recuerda que podemos susituir cualquier numero para C y obtener una otra antiderivada.


3. 5 dx =
4. x dx =



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Regla de potencias para integrales
xn dx = xn+1

n + 1 + C sin ≠ -1
x-1 dx = ln|x|+ C

En palabras:

Para calcular la integral de xn, se añade 1 al exponente, y se divide por el nuevo exponente. Esta regla es válida siempre y cuando n no sea -1.
Notas
1. La integral 1 dx se suele escribir como dx.

2. En forma parecida, 1

x55 dx se puede escribir como dx

x55 .




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1. x55 dx
= x5656 + C

2. 1

x55 dx
= x-55 dx = - x-54

54 + C

3. dx
= x0 dx = x1

1 + C = x + C


4. x3 dx =
5. 1

x2 dx =



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Algunas integrales de funciones exponenciales y logaritmicos
ex dx = ex + C
porque d

dx ex = ex

cos x dx = sin x + C
porque d

dx sin x = cos x

sin x dx = -cos x + C
porque ddx (-cos x) = sin x

sec2x dx = tan x + C
porque d

dx tan x = sec2x



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Algunas reglas para la integral indefinida
(a) Reglas de sumas y diferencias

[f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx

En palabras:

La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la diferencia de dos funcioneses la diferencia de las integrales de las funciones individuales.
(b) Regla de múltiples constantes

kf(x) dx = k f(x) dx (k constant)

En palabras:

Para tomar la integral de una constante multiplicada por una función, se toma la integral de la función sola, y después se multiplica la respuesta por la constante. (En otras palabras el constante "sigue para el paseo" )
¿Porqué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.


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Suma: (x3 + 1) dx
= x3 dx + 1 dx

= x4

4 + x + C

Múltiple
constante: 5x3 dx
= 5 x3 dx

= 5x4

4 + C

Múltiple
constante: 4 dx
= 4 1 dx

= 4x + C


Ambasreglas: (6x2 + 4) dx
= 6 x dx + 4 1 dx

= 6x3

3 + 4x + C

= 2x3 + 4x + C



Quería practicar? Pruebe la tutorial o los ejercicios.


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Sustitución
Si u sea una función de x, podemos utilizar la próxima fórmula para evaluar una integral:

f dx = f

du/dx du

Usando la fórmula

Uso de esta fórmula equivale a el procedimiento siguiente :1. Escriba u como una función de x.
2. Toma la derivada du/dx, y despeje a la cantidad dx como función de du.
3. Use la expresión que obtiene en parte 2 para sustituir para dx en la integral original.

Eligiendo a la u mejor

No hay una regla definida para elegir a u, pero hay algunas directrices que sirven a menudo son las siguientes:

Elija para u una expresión que está elevando auna potencia.
Elija para u t una expresión cuya derivada aparece como un factor del integrando.
Elija para u el denominador en una expresión racional.
Si la variable x no se puede eliminar por una sustitución, pruebe una otra sustitución.

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Para evaluar (x2+1)(x3 + 3x - 2)2 dx, continúe como sigue:



u = x3 + 3x - 2 Escoja una expresión para u...