Cienciass

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Ya hemos visto una aplicación de las integrales dobles: calcular volúmenes. Otra aplicación geométrica es hallar áreas de superficies y lo haremosen la siguiente sección. En esta sección, exploramos aplicaciones físicas como por ejemplo calcular masa, carga eléctrica, centros de masa y momento de inercia. Veremos que estas ideas físicas tambiénson importantes cuando se aplican a funciones de densidad de probabilidad de dos variables aleatorias.

Densidad y masa
Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una lámina con densidadvariable. Supongamos que la lámina ocupa una región D del plano xy y su densidad (en unidades de masa por área unitaria) en un punto (x,y) en D está dada por ρ(x,y), donde ρ es una función continuaen D. Esto significa que
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donde  y  son la masa y el área de un pequeño rectángulo que contiene a (x,y), y el límite se toma cuando las dimensiones del rectángulo se aproximan a 0. Para hallara lamasa total m de la lámina, dividimos el rectángulo R que contiene a D, en sub-rectángulos Rij del mismo tamaño y consideramos que ρ(x,y) es 0 fuera de D. Si escogemos un punto (x*,y*) de Rij, entoncesla masa de la parte de la lámina que ocupa Rij es aproximadamente ρ(x*,y* , donde  es el área de R(x*,y*. Si sumamos todas estas masas, obtenemos una aproximación a la masa total:
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Si ahoraaumentamos el número de sub-rectángulos, obtenemos la masa total m de la lámina como el límite del valor de las aproximaciones:
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Los físicos también consideran otros tipos de densidad que se puedentratar en la misma manera. Por ejemplo, si una carga eléctrica se distribuye sobre una región D y la densidad de carga (en unidades de carga por área unitaria) está dada por σ(x,y) en un punto (x,y)en D, entonces la carga total Q está dada por
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Algunas otras Aplicaciones
El area de una región plana R en el plano  viene dada por una...