Cimentacion de la particula

Cinemática de la partícula

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1. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA 1.1 Movimiento rectilíneo
Posición en función del tiempo 1. La posición de una partícula que describe una línea recta queda definida mediante la expresión s = t3/3 − 9t + 2, donde si t está en s, s resulta en m. Determine: a) la aceleración de la partícula cuando su velocidad es de 7 m/s; b) su velocidad media desde t = 3 hasta t =6 s, c) Dibuje las gráficas tiempo-posición, tiempo-velocidad y tiempo-aceleración del movimiento de la partícula, durante los primeros seis segundos.

0

P s

Resolución Ecuaciones del movimiento

1 s = t 3 − 9t + 2 3 ds 2 v= =t −9 dt dv a= = 2t dt

a) Tiempo en que la velocidad es 7 m/s

7 = t2 −9 t 2 = 16 t = ±4
La raíz negativa no tiene significación física en este caso. Para t =4
a = 2(4 ) ; a = 8 m

s2

→

2

Cinemática de la partícula b)

s (m)
20 2 -16 3 6

∆s s6 − s3 = ∆t 3 1 3 s6 = (6) − 9(6) + 2 = 20 3 1 3 t (s) s3 = 3 (3) − 9(3) + 2 = −16 20 − (−16) vm = ; v m = 12 m s → 3 vm = c)

v (m/s)
27

Tabulación para dibujar las gráficas

t

0 2 -9 0

3
-16

6 20 27 12

t (s)
-9 3 6

s v a

0 6

a (m/s2)
12

6

t (s)
3 6Cinemática de la partícula

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Velocidad en función del tiempo 2. La velocidad de un punto que se mueve sobre el eje de las ordenadas, que es un eje vertical dirigido hacia arriba, se puede expresar como v = 6 t2 − 24, en donde v se da en ft/s y t en s; además, cuando t = 0, entonces y = 6 ft. Calcule: a) la magnitud y la dirección de la aceleración del punto cuando t = 3 s; b) el desplazamientodel punto P durante los primeros cuatro segundos; c) la longitud que recorre durante ese mismo lapso; d) dibuje esquemáticamente las gráficas del movimiento del punto P.

y

P 0

Resolución Ecuaciones del movimiento Como v = Entonces: dy dt

dy = vdt

∫ dy = ∫ vdt y = ∫ (6t − 24)dt y = ∫ (6t − 24)dt
2

2

y = 2t 3 − 24t + C Si t = 0, y = 6 6= C Por tanto: y = 2t 3 − 24t + 6 v = 6t2 − 24 dv a= = 12t dt
a) Para t = 3 a = 12(3) ; a = 36 ft s2 ↑

4

Cinemática de la partícula b)

y (ft)
38 6 -26 2 4

∆y = y4 − y0 En donde: y4 = 2(4)3 − 24(4) + 6 = 38 y0 = 6 ∆y = 38 − 6 ∆y = 32 ft ↑ c) Para conocer la distancia que recorre, investigaremos cuando v = 0

t (s)

v (ft/s)

0 = 6t 2 − 24 t2 = 4 t = ±2 Sólo la raíz positiva tiene significado físico

t (s)
2 4y2 = 2(2)3 − 24(2) + 6 = −26 Por tanto, la partícula se movió de y0 = 6 a y2 = −26 y luego a y4 = 38 D = ∆y (0 − 2) + ∆y (2 − 4)
D = − 26 − 6 + 38 − (−26) = 32 + 64

a (ft/s2)
24

D = 96 ft d) Tabulación para dibujar las gráficas

12

t

0

2

4

t (s)
2 4

y v a

-26 38 6 -24 0 72 0 24 48

Cinemática de la partícula

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3. En la figura aparece la gráfica de lamagnitud de la velocidad de una partícula en función del tiempo. Se sabe que cuando t = 0, la posición de la partícula es s = + 8 in. Dibuje las gráficas tiempoaceleración y tiempo-posición del movimiento de la partícula.

v (in/s)
20

t (s)
2 -20 4 6

Resolución a (in/s2) La magnitud de la aceleración es igual a la pendiente de la gráfica tiempo-velocidad; durante los primeros cuatro segundos espositiva de 40/4 = 10 y después es nula. (La gráfica tiempo-aceleración puede ser discontinua como en este caso, pero nunca las gráficas tiempovelocidad y tiempo-posición)

10

t (s) 2 4 6

s (in)
48
20 1

8 2 -12 4 6

t (s)

La gráfica tiempo-posición comienza, según los datos, en s = + 8. Desde t = 0 hasta t = 2, la pendiente de la curva que comienza siendo negativa, vadisminuyendo en magnitud hasta hacerse nula: el desplazamiento en ese lapso es igual al área bajo la gráfica tiempovelocidad, es decir 20. De 2 a 4 s el comportamiento de la gráfica es inverso al anterior y cuando t = 4, la partícula vuelve a su posición inicial, pues el área acumulada bajo la gráfica tiempo-velocidad es cero. De 4 a 6 s, la pendiente es constante, positiva y de 20, por tanto, se trata de...