CIN Tema1

TEMA 1

Resolución aproximada de ecuaciones no lineales

1. Introducción
Sólo somos capaces de obtener la solución exacta para cierto tipo de ecuaciones (esencialmente, cuando podemos despejar la incógnita o en el caso de ecuaciones polinómicas de segundo
grado). En esta primera parte del Bloque I estudiaremos dos métodos iterados que proporcionan
buenas aproximaciones a la solución de unaecuación en general.

2. Ecuaciones no lineales. Raíces y multiplicidad
Denominamos ecuación no lineal a una ecuación del tipo f ( x) = 0 en la cual f es una función
real de variable real no lineal. Resolver la ecuación f ( x) = 0 es hallar los valores x¯ ∈ R que

anulan dicha función. A estos valores x¯ se les denomina raíces o soluciones de la ecuación, o
también, ceros de la función f .Geométricamente representan las abscisas de los puntos de corte
de la gráfica y = f ( x) con el eje OX.
Ejemplo 1 f ( x) = x2 − 1 es un ejemplo de función no lineal. Sus ceros son x = 1, −1, o lo que
es lo mismo, x = 1, −1 son las raíces de la ecuación x2 − 1 = 0.

Una raíz x¯ de la ecuación f ( x) = 0 se dice que tiene multiplicidad n si
f ( x¯ ) = f ′ ( x¯ ) = f ′′ ( x¯ ) = · · · = f n−1) ( x¯ ) = 0
y

f n) (x¯ ) = 0

Si la multiplicidad de una raíz es 1, diremos que es simple.
Ejemplo 2 Dada f ( x) = ( x − 1)2 ( x + 1) la ecuación f ( x) = 0 posee dos raíces reales distintas,
que son x1 = −1, simple, y x2 = 1, doble (pues f (1) = f ′ (1) = 0 y f ′′ (1) = 0).

En general, las raíces de una ecuación no lineal no pueden ser calculadas de forma exacta,
salvo que la incógnita pueda despejarse de maneraadecuada o tengamos un polinomio de segundo grado. El objetivo de este capítulo consiste en ofrecer métodos iterativos que permitan
obtener aproximaciones numéricas de las mismas.

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Guión bloque I CIN– Ingeniería Informática – Curso 2014/15

3. Métodos iterativos de aproximación de soluciones
Sea f ( x) = 0 una ecuación no lineal y x¯ una raíz de esta ecuación. Supondremos en toda esta
¯ en elsentido de que se conoce un intervalo [ a, b] que
sección que tenemos separada la raíz x,
¯ y no contiene a ninguna otra raíz de f ( x) = 0.
contiene a x,
¯ bajo
A continuación daremos dos métodos numéricos para obtener una aproximación de x,
esta hipótesis: el método de bisección y el método del punto fijo. Como caso particular de éste,
estudiaremos el método de Newton-Raphson.

3.1. Método debisección
El soporte teórico de este método es el teorema de Bolzano, por ello tenemos que imponer
que f sea continua en [ a, b].
Teorema 1 (de Bolzano) Si f es una función continua en el intervalo [ a, b] y f ( a) · f (b) < 0, entonces
la ecuación f ( x) = 0 posee un número impar de raíces (contando sus multiplicidades) en [ a, b].
En el método de bisección se construye una sucesión de intervalosencajados,

[a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ . . . ⊃ [ak , bk ],
donde a0 = a y b0 = b, de forma que siempre contengan la raíz buscada y que la amplitud de uno
sea la mitad del anterior. Para ello basta dividir el intervalo dado por su punto medio y escoger
aquel subintervalo en el que la función cambie de signo en sus extremos, lo que garantiza, según
el teorema de Bolzano, la existencia de un cero de lafunción en su interior.
Cuando la amplitud del intervalo sea suficientemente pequeña de acuerdo con la precisión
deseada de la raíz, podremos considerar como una buena aproximación de ésta el punto medio
de este intervalo.
El procedimiento para aplicar este método es el siguiente:
1) Partimos de un intervalo [ a, b], y queremos hallar una aproximación de la solución de la
ecuación f ( x) = 0, conuna precisión tal que el error cometido sea menor que cierto ε > 0.

= a + b−2 a . Si f ( a) · f ( x1 ) < 0,
entonces el intervalo que contendrá a la solución será [ a, x1 ]. En tal caso, [ a1 , b1 ] = [ a, x1 ], y el
error cometido será ε 1 ≤ b−2 a . Si por el contrario, f (b) · f ( x1 ) < 0, entonces [ a1 , b1 ] = [ x1 , b]. En
esta primera división, el error que se comete al aproximar la...