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DERIVACION DE LA ECUACION DE BERNOULLI
Preparado por:
Ing. Esteban L. Ibarrola
Cátedra de Mecánica de los Fluidos- FCEFyN- UNC

Existen varios formas alternativas para derivar la ecuación de Bernoulli, pero todas parten
de la Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento conocida como ecuación de
Navier-Stokes, que establece el equilibrio entre las fuerzas de inercia, masa,presión y
viscosidad por unidad de volumen que actúan sobre una partícula fluida elemental.

DV
Dt

K

p

(

1
3

.V

2

(1)

V)

Alternativa 1
La ecuación anterior, considerando un fluido ideal incompresible (
viscoso (

cte, .V

0 ) y no

0 ), se reduce a la denominada ecuación de Euler, que se escribe:

DV
Dt

K

(2)

p

Siendo:

DV Dt : la derivadasustancial de la velocidad

K

: el vector que representa el campo de fuerzas de masa

, p : la densidad y la presión respectivamente
: el operador vectorial de Hamilton [

i () x

j () y

k ( ) z .]

Si el campo de fuerzas de masa es el gravitatorio (campo posicional independiente del
tiempo, y que deriva de un potencial), el mismo se puede expresar cómo:

K

g z

(3)

Donde con“g” se indica la aceleración de la gravedad y “z” es una distancia vertical
medida a partir de una referencia arbitraria.
Multiplicando la (2) por el vector velocidad V se obtiene:

2

V .DV
Dt

V. K

(4)

V. p

Por otra parte el diferencial del cuadrado de la velocidad se puede expresar como:
D(V 2 )

2.V DV

y el producto de la velocidad por su diferencial resulta:

D(1 2.V 2)

V .DV

(5)

El vector velocidad el cuadrado, es igual al módulo de la velocidad al cuadrado:

V

2

(ui

vj

wk ).( ui

vj

u2

wk )

v2

w2

V2

(6)

Efectuando los reemplazos correspondientes, la (2) se escribe:

D(1 2.V 2 )
Dt

V. (p

(7)

gz)

La derivada sustancial de 1 2V 2 se expresa como suma de su variación local más el
término convectivo ode transporte:

D(1 2V 2 )
Dt

(1 2.V 2 )
V . (1 2V 2 )
t

(8)

Considerando un flujo estacionario, la variación local es nula, y llevando la (8) a la (7) se
tiene:

V. 1 2 V2

p

Llamando a la cantidad entre paréntesis: E

V. E

gz

1 2 V2

0

(9)

0

p

gz

(10)

3

La anterior, admite la siguiente interpretación: para que el producto escalar sea nulo entodo el campo de movimiento, el gradiente de la cantidad E debe ser perpendicular al
vector velocidad lo que implica que esa cantidad debe ser siempre constante a lo largo
de cualquier línea de corriente del campo de movimiento y consecuentemente para
dos puntos de una misma línea de corriente se verificará:

1 2 V1

2

p1

gz1

1 2V2

2

p2

gz 2

(11)

En general laconstante E no tiene el mismo valor para las distintas líneas de corriente del
campo de movimiento, pero sobre cada una de ellas se verificará la relación (11).

Esta es la formulación clásica de la ecuación de Bernoulli, y debe puntualizarse que su
validez está restringida a movimientos fluidos con las siguientes características:

Flujo incompresible
Fluido no viscoso

cte , .V

0

0Movimiento estacionario, independiente del tiempo.
Flujo a lo largo de una línea de corriente.
Campo de fuerzas de masa gravitatorio

Dividiendo ambos miembros de la (11) por la densidad se obtiene:

1 2V12

p1

gz1

1 2V22

p2

gz 2

(12)

Alternativa 2
Los campos de fuerzas de masa cuya intensidad

depende únicamente de las

coordenadas espaciales y no del tiempo sedenominan posicionales o conservativos, y se
expresan como:

K

G ( x, y , z )

(13)

4
.siendo la función G( x, y, z ) la energía potencial del campo. En el caso particular en que la
única fuerza de masa es el peso, como en la mayoría de los problemas de ingeniería, el
campo de fuerzas de masa es el gravitatorio, y la energía potencial del mismo es
simplemente:
G

(14)

gz...