Circulo de mohr

1
M.C. FRANCISCO HERNANDEZ CORONA

4.1

CIRCULO DE MOHR PARA
ESFUERZO PLANO
(ECUACIONES DE
TRANSFORMACION)

Estado general de esfuerzos
En capítulos anteriores se desarrollaron métodos para
determinar las distribuciones de esfuerzo normal y/o cortante en una
sección transversal de un miembro cuando se somete a carga axial,
fuerza cortante, momento flector y/o momento torsor.
Siconsideramos
un
elemento
diferencial
cuadrado,
notaremos que éste tiene seis
caras, y que en cada una de ellas
puede existir un esfuerzo normal y
dos esfuerzos cortantes.
En la figura mostrada, se
muestran solo los esfuerzos de las
caras visibles.
En las caras
paralelas no visibles, deben ocurrir
esfuerzos de la misma magnitud y
sentido contrario para que el
elemento estéequilibrado.

En este capítulo enfocaremos nuestra atención en el
estado plano de esfuerzos, el cual ocurre cuando todos los
esfuerzos que actúan sobre el elemento diferencial pueden
visualizarse en una representación plana, como se muestra en la
figura. Note que en el elemento diferencial tridimensional sólo
se muestran los esfuerzos en las caras visibles, de forma
análoga al caso anterior.Transformación de esfuerzos planos
Consideremos un elemento diferencial sometido al estado
plano de esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un
corte sobre él, deben aparecer en el plano de corte un esfuerzo
normal (sƟ) y uno cortante (Ʈxy) para que el elemento se mantenga
en equilibrio. El ángulo Ɵ indica la dirección normal al plano de
corte.

Asumiendo como unitaria laprofundidad del elemento,
podemos establecer las ecuaciones para que se mantenga el
equilibrio en el elemento diferencial. En primer lugar, establezcamos
las fuerzas que ejercen sx, sy y Ʈxy sobre el elemento:

Px   x  dy   xy  dy  tan 

Py   y  dy  tan    xy  dy

Si proyectamos estas fuerzas sobre la dirección q, podremos
obtener el valor del esfuerzo sƟ:

dy
 F  Px cos  Py  sin      cos  0
Luego, al desarrollar la expresión nos queda:

    x  cos 2    y  sin 2   2  xy  sin   cos 
Si utilizamos la identidades trigonométricas:

cos 2  

1  cos 2
2

sin 2  

1  cos 2
2

2  sin   cos   sen2

Podemos plantear finalmente:

  x  y    x  y 
  
 2    2   cos 2   xy  sin 2




Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo normal sobre
cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación Ɵ
respecto a la dirección x.
Si planteamos la misma expresión para un ángulo ’ = +90º,
nos queda:

  x  y    x  y 
 '  
 2    2   cos(2  180)   xy  sin( 2  180)






Recordando que trigonométrica mente se cumpleque:

cos( )  cos(  180)  0
sin( )  sin(  180)  0
Hallaremos que
anteriormente se cumple:

para

las

expresiones

planteadas

 x   y       '  ctte
Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a
un estado de esfuerzos plano, la suma de los esfuerzos normales
producidos en dos planos perpendiculares entre sí es siempre
constante.

Ahorabuscaremos una expresión que nos permita hallar el
esfuerzo cortante sobre el plano . Si proyectamos ahora las fuerzas
Px y Py sobre la dirección  ’ (perpendicular a  ), tenemos:

 F '  Px  sin   Py  cos    ' 

dy
0
cos 

Desarrollando la expresión nos queda:

  '  ( x   y )  cos   sen   xy  sin 2    xy  cos 2 

Recordando las identidadestrigonométricas:

cos 2  

1  cos 2
2

sin 2  

1  cos 2
2

2  sin   cos  sen2

Podemos plantear finalmente:

  '

  x  y 
 
 2   sin 2   xy  cos 2




Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre
cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación 
respecto a la dirección x.
Si planteamos la misma expresión para un...