circulos

  # "
¥ © ¢       &  £ ¢  © ¢

%

¦ ¤ £ ¢  © ¢

!



   

¤ ¥  ¦ © ¢ ©  ¥

¥ ©    ©      ©

  

¥  ¥ © ¨ § ¦ ¤ ¦ ¢

¥ ¤   £ ¢ ¡  

¤ ¥ ©    $ ¥ §

1 0 ) ( ( '

Recordemos que:
S
S
S
S

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los
puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro.

S

El radio es el segmento de recta que uneel centro de la
circunferencia con cualquier punto sobre ella.

r

k

(h,k)

S

La cuerda es el segmento de recta que une dos puntos
cualesquiera sobre la circunferencia. Si la cuerda
contiene el centro de la circunferencia, se llama diámetro.

r
h

S

Un arco es una parte continua de una circunferencia.

S

Si una recta es tangente a una circunferencia, entonces, el radiotrazado hasta el punto de
tangencia es perpendicular a la línea tangente.

S
S
S
S

La razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro es una constante llamada
π ∈ I ., donde I es el conjunto de los números Irracionales.
La longitud de una circunferencia (perímetro) es igual a

2 πr

es decir

T

P = 2 πr

Considerando una circunferencia con centro en O = (0,0 )y radio 1, un punto A = (x, y ) del plano se encuentra
sobre la circunferencia si d (O,A) = 1, entonces por las
propiedades del valor absoluto se tiene:

y
(0,1)
A=( x, y )
d
x

d (O , A ) =

2

x −0 + y −0

2

=

x2 + y2

Por propiedades del

(-1,0)

O=(0,0) (1,0)

Valor Absoluto
(0,–1)

Como d (O,A) = 1 se tiene
1 = x +y
2

2

⇔

2

1= x + y
2

2Por lo tanto la ecuación de la circunferencia de radio 1 y centro en el origen es x 2 + y 2 = 1 . Esta
circunferencia es llamada circunferencia unitaria
Al analizar la gráfica de la circunferencia unitaria se puede observar:
S

La gráfica no es la representación de una función, ya que no cumple con la definición de ésta,
es decir: a cada valor de x no le corresponde un único valor de y.

SS
S

La circunferencia es simétrica con respecto al origen, con respecto al eje y ,con respecto al eje
x, y respecto a y = x . Se puede decir además que cualquier diámetro es un eje de simetría.

Ahora, que ocurre si lo que se tiene es una circunferencia con centro en
es 1?

O = (0,0 ) ,

pero su radio no

Repitiendo el proceso anterior se concluye que la ecuación de la circunferenciacon centro en el
origen y radio r es:
x 2 + y 2 = r2

4  FE

 4 9 A ! A D 9  4 ! ¢

C

   4 !  ¢ @ B 1 3

 ! A #

§ 3 1 @ ) ( ( ' 3
) ( Q R ( Q 1 1

9 8

9 P 4

7
I

6  " 5 4 ! ¥ 3 2 ¢
 # 4 ¥

H  # G

  # "
¥ © ¢       &  £ ¢  © ¢

%

¦ ¤ £ ¢  © ¢

!



   

¥ ©    ©      ©

¤ ¥  ¦ © ¢ ©  ¥

  

¥  ¥ © ¨ §¦ ¤ ¦ ¢

¥ ¤   £ ¢ ¡  

¤ ¥ ©    $ ¥ §

1 0 ) ( ( '

Si a partir de la circunferencia de radio r y con centro en el origen se efectúa una traslación de h
unidades horizontalmente y k unidades verticalmente se obtiene la gráfica representada en la
figura.
Por lo tanto la ecuación de la nueva circunferencia es:

(x − h)2 + (y − k )2 = r 2
Esta ecuación es conocida como la ecuacióncanónica de la circunferencia..

Ejemplo 1
Determinar la ecuación de la circunferencia con centro ( −3 ; −2 ) y que pasa por el punto (0 ; 1)
Hallemos el radio de la circunferencia, para ello:

(− 3 − 0 ) 2

T

r =

+ ( − 2 − 1) 2 =

9+9 =

18 = 3 2

Luego la ecuación canónica de la circunferencia es ( x + 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 18
Al transformar algebraicamente la ecuación canónicase tiene:

(x − h )2 + (y − k )2
1
r

2

x2 −

2h
r

2

x+

h2
r

2

2

= r2

+

1
r

2

 y −k
 x −h



 r  + r




⇔

y2 −

2k
r

2

y+

 1  2  1
x + 

 2
 2 
r
r 

k2
r

2

−1= 0

2


 =1



⇔

x 2 − 2 xh + h2

⇔

1
r

2

r2

x2 +

1
r

2

y2 −

2h
r

2

+

x−...