circunferencia cimat

4

La
analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos variables. Ahora bien, no toda ecuación de este tipo representa siempre una circunferencia; solo
en determinadas condiciones es cierto.
Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio.

NA

ECUACION

y radio r es

de centro (h,

( y-

-

=

r2.

+

Si el centro es el origen de coordenadas,ecuación toma la forma
= r2.
Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo

+ y2 + D X + Ey +

=

O.

Si escribimos esta ecuación en la forma

+ DX + y 2 + Ey +

O

y sumamos y restamos los términos que se indican para completar cuadrados, se tiene,
0 2
D2
E2
f DX
7f y2
-=
4
4
4

+ +

+

(.

o bien

+

+)2

y el radio r

centro es el punto

+ E2+ E2Si De + -

+(. +);

+

~

24.

=

4 d\/o”+

-

.

-

> O, la circunferencia es real.
< O, la circunferencia es imaginaria.

Si D2
Si D2

=

O, el radio es cero y la ecuación representa al punto

r la ecuación de la circunferencia de centro (--2, 3) y radio 4.

- 3)2 = 16, o bien,

2)2

+

4-

- 6 y =-.J.

+

coordenadas del centro y el radio de la circunferencia
4- - 14 = O
sumando y restando los términos adecuados paracompletar cuadrados, b ) aplicando la fórmula
*

~

9
4

25
4

9
4

35

25
4

36

3.

Hallar el valor de k para que la ecuación
de radio 7 .
Como

5.

r

-

,!\/fi2

-~_ _ _ __
_ ..

C

resulta 7

E2-

radio e i

--

O represente una circunferencia

?a$100Elevando al cuadrado v resol-

-

5-3
2

-

---3)*

i (-1

r =

Luego (s- 1 )" 1

-'

k
16

\

32, o bien,

0%
- 3)2

t2

+

y*

16

1
-

2u

__t__
7

2

-3.

4d2.
---

6~3 22.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pase por el punto
(O, O), tenga de radio Y
13 y la abscisa de su centro sea - 12.
Como la circunferencia paia por el origen.

t

=

r2, o 144

Resolviendo; k2 = 169 - 144
Y

Luego, (x

+ 12)2i-( y
+ 12)' + ( y

Desarrollando,
Y

7.

tk

Hallar la ecuación de la circunferencia de manera que uno de ius diámetro? sea elsegmento que une
los puntos (5, --I) y (--3. 7 ) .
Lai coordenadas del centro son

6.

- 8 s I IOy

'
1

-

5)'

t

5)2

+ +
4
+

-

169

k'

25, k
~

5.

169
169.

- 1Oy
O
24\ t1Oy - O.

Hallar la ecuación de la circunferencia que paia por los puntos
( 5 , 3), (6, 2 ) Y (3, - 1 ) .

I

Cada una de las expresiones

-c
contiene tres constantes indeterminadas con lo que serán necesarias tres condicionespara determinarlas Como la circunferencia debe pasar por los tres puntos dddos. se pueden hallar los
coeficientes sustituyendo lai coordeiiadas de loi puntos en lugar
de e y resolviendo, a continuaci&i,
tres ecuacionei lineales
en D, C y F Estas ecuacionei son

+

31:
25 4 9 S D
36 - 1 4 I 6 B
2E
91-1 $-3D-- E

t
+

P

*

Resolviendo el 5istema se obtiene, D
Sustituyendo estos valores de D, y
12 -o.

I

O,
O,
-0.

-8,
- - 2 y F - 12.
resulta la ecuación de la circunferencia

4 y'

8 x - 2y

LA

37

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
( 2 , 3) y (--I, I ) y cuyo centro está situado en la recta .Y - 3y
- 1 1 =o.
Sean
las coordenadas del centro de la circunferencia. Como (h, debe equidistar de los puntos ( 2 , 3 ) y (-I,
I).
- 2)'

+ (k -

3)2

=

t

k)2

-- 1)'.

-L

Elevando al cuadrado y simplificando. 6h
I I.
Como el centro debe estar sobrc la recta .Y - 3 ) - - I I - O
se tiene. h - 3k = I I .
Despejando los valores de y de estas ecuaciones se
-4

deduce,

-

7
2

--,

~

5
2'

= --

o bien, xz 7-y2 - 7x

La ecuación pedida es

-C

- 14 = O.

.

9. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo
2 ~ , - 3y t 21
O,
cuyos lados sonlas rectas
3~ - 2 ~ - 6 -- O,
2r t 3 y t 9
o
~

Como el centro de la circunferencia es e l punto de inter\ección de las bisectrices de loc ángulos interiores del triángulo
será necesario hallar, previamente, las ecuacionef de dichac bisectrices. Sean (h, k ) las Coordenadas del centro Para determinar
la bisectriz ( I ) (ver Figura)
21
--

3 h____-_
\/I3

i3

, o bien, h - k

3

--

O.

Para la...