Circunferencia

Obtener la Ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas
Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura

Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:
Método por desarrollo y
Método con las fórmulas conocidas.
Método por desarrollo
Comoconocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será
(x ─ a)2  +  (y ─ b)2 = r2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3)
entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como
(x ─ 2)2  +  (y ─ ─ 3)2  = 52
(x ─ 2)2  +  (y + 3)2  = 52
(x ─ 2)2  +  (y + 3)2  = 25
Nota: algunos usan otras letras,como (x ─ h)2  +  (y ─ k)2
  
Sigamos.
Tenemos nuestra ecuación ordinaria
(x ─ 2)2  +  (y + 3)2  = 25
y desarrollamos  sus dos binomios:
(x  ─ 2) (x  ─ 2) + (y  +  3) (y  +  3) = 25
(x2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y2 + 3y + 3y + 9) = 25
(x2 ─ 4x  +  4) + (y2 + 6y + 9) = 25
Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
x2  + y2 + Dx + Ey + F = 0
Entonces, ordenamos nuestraecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:
x2  +  y2  ─ 4x  +  6y + 4 + 9 ─ 25 = 0
x2  +  y2  ─ 4x  +  6y  ─ 12 = 0
que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2,  ─3 y cuyo radio es 5.
 
Método con las fórmulas conocidas
Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas
Si     entonces   D = ─ 2a    
Si      entonces   E = ─ 2b    
Si       entonces    F = a2 + b2 ─  r2 
Recordemos que C (2, ─3)  corresponde a C (a, b)
Entonces, hacemos:



F = 4 + 9 ─ 25 = ─12
 
Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos
x2 + y2 + ─4x + 6y + ─12 = 0
x2 + y2 + ─4x + 6y ─12 = 0obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del desarrollo.
Ahora, hagamos algunos ejercicios
Ejercicio 1
Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está en las coordenadas  y que tiene un radio igual a
.

Resolución por desarrollo
En este caso podemos usar las fracciones o convertirlas a decimales:.
Como el centro no está en el origenvamos a usar la fórmula ordinaria para llegar a la desarrollada:
Para hacerlo, partamos de aquí:
(x ─ a)2  +  (y ─ b)2 = r2
Nota:
Debemos recordar que x e y corresponden a las coordenadas de cualquier punto en la circunferencia, P (x,  y), distante un radio desde el centro.
 
Volvamos a la fórmula:
Reemplacemos los valores en las coordenadas del centro, C (a,  b):

 
y aquí tenemos la ecuaciónordinaria (formada por dos cuadrados de binomio) la cual ahora desarrollaremos para llegar a la ecuación general:
Recordemos el cuadrado del binomio:
a2 + 2ab + b2
Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término  2(x)(0,5), más el cuadrado del segundo término (0,5)2
 
Pongamos los valores de nuestros binomios al cuadrado:
(x)2  +  2(x)(0,5)  + (0,5)2   +  (y)2  +  2(y)(─1,25)  +  (─1,25)2  = 3
x2  +  x  + 0,25   +   y2  ─2,50y  +  1,56   = 3
ahora acomodamos los términos e igualamos a cero, para obtener la ecuación general:
x2  +  y2  +   x   ─  2,50y   + 0,25   +  1,56   ─ 3  = 0
x2  +  y2  +   x   ─  2,50y   ─ 1,19  = 0
 
Resolución por el sistema de fórmulas conocidas
Tenemos:
Centro de la circunferencia (coordenadas)

Radio
 r  =  
Y lasfórmulas
D = ─2a 
E = ─2b
F = a2  + b2  ─  r2
Recuerde que la ecuación general de la circunferencia tiene esta estructura:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Por lo que solo debemos calcular D, E y F

 


Ahora que ya conocemos D, E y F los acomodamos en la fórmula general y tendremos:
x2 + y2 + x + ─2,50y + ─1,19 = 0
x2 + y2 + x ─ 2,50y  ─ 1,19 = 0  fórmula general de la circunferencia dibujada arriba....