Clase_Auxiliar_1_Parte_1

AUXILIAR 1
PROBLEMA 1
Calcular el campo eléctrico en cualquier punto del espacio, producido por una
recta de carga infinita (con densidad lineal de carga λ0). Luego, aplicar el
teorema de Gauss paraobtener el mismo resultado. (Se considera un punto
genérico en el que se mide E a una distancia “r” del hilo infinito).
SOLUCIÓN:
Se calculará el campo eléctrico por definición:

Los vectoresinvolucrados en la integral se aprecian en el siguiente dibujo (están
expresados en coordenadas cilíndricas, dada la simetría del problema):

Y, dado que se trata de una recta de carga, el diferencial decarga es
Con esto se tiene que:

La integral anterior se puede dividir en dos integrales:
, se resuelve fácilmente haciendo el cambio de variable

,

con esto se obtiene:

ii)

. Acá se está integrandouna función impar con respecto al origen,

por lo que al evaluarla entre -∞ y +∞ el resultado será cero. Para resolver la
integral, el cambio de variable adecuado es
, y el resultado es

Reemplazandoestos resultados en la expresión inicial se tiene:

APLICANDO EL MÉTODO DE GAUSS:
Se elige una superficie que encierre completamente la distribución de carga. La
elección lógica es una superficiecilíndrica de radio “r” (o sea, de radio igual a la
distancia del punto en cuestión). Además, se asume que el campo eléctrico
apunta en dirección radial (por simetría), esto es,
. El diferencial de
área dela superficie escogida es

. Se reemplazan estos valores

en la siguiente expresión:

La integral del lado izquierdo se integra con respecto a θ y a z, por lo que lo
dependiente de r puede salir deesta integral:

→ Las integrales se anulan y se despeja E(r), llegando a

Por lo tanto, el resultado final es:
Tal como se había calculado.
PROBLEMA 2
Calcular el campo eléctrico en un punto del eje deun disco de radio R cargado
con densidad de carga uniforme σ0. Extender el resultado para calcular el campo
eléctrico producido por un plano de carga infinito.
Luego, aplicar el teorema de Gauss...