Clase1 2012

CLASE #1: REPASO DE ALGEBRA LINEAL.
Lunes 5 de Marzo de 2012

Introducci´
on En esta primera clase haremos un repaso de las nociones elementales de Algebra Lineal. Veremos espacios vectoriales, producto interno y espacio
euclideos.
—————-+—————Definici´
on: Un conjunto V dotado de una operaci´
on suma, +, y de una operaci´
on
producto por escalar, ·, en que
+:V ×V →V

·: C×V →V

se llama espaciovectorial sobre los complejos (´
o espacio lineal sobre los complejos)
si se satisfacen las siguientes propiedades:
I: {V, +} es un grupo abeliano, es decir,
I.a) Asociatividad: (x + y) + z = x + (y + z), para todo x, y, z ∈ V .
I.b) Existencia del elemento identidad: Existe 0 ∈ V de modo que x+ 0 = 0+x = x,
para todo x ∈ V .
I.c) Elemento inverso: Para todo x ∈ V , existe (−x) ∈ V tal que x +(−x) = 0.
I.d) Conmutatividad: x + y = y + x, para todo x, y ∈ V .
II) 1 · x = x, para todo x ∈ V , en que 1 ∈ C es el elemento unidad en los complejos.
III) Asociatividad: α · (β · x) = (αβ) · x, para todo α, β ∈ C, y todo x ∈ V .
IV.a) Distributividad: (α + β) · x = α · x + β · x, para todo α, β ∈ C, y para todo
x∈ V.
IV.b) Distributividad: α(x + y) = αx + αy, para todo α ∈ C, x, y ∈ V .
De la mismamanera se puede definir un espacio vectorial sobre los reales.
Ejemplos: La recta real, R, el plano, R2 , el espacio usual, R3 , son ejemplos de
espacios vectoriales reales. En general Rn es un espacio vectorial real. Del mismo
modo Cn es un espacio vectorial complejo. El conjunto de polinomios reales de
grado n es un espacio vectorial real.
Independencia lineal: Decimos que dos vectores, x e y enV son linealmente independientes si
(1)

αx + βy = 0,

implica que α = β = 0.
1

2

En general, decimos que un conjunto de vectores {xi }ni=1 son linealmente independientes si
n

αi xi = 0,

(2)
i=1

implica que αi = 0, para todo i = 1, . . . n.
Dimensi´
on de un espacio vectorial: Se define la dimensi´
on de un espacio vectorial
V , dim(V ), como el n´
umero m´aximo de vectores linealmenteindependientes en
V . La dimensi´
on de un espacio vectorial es una cantidad intr´ınseca de V . Por el
momento solo consideraremos espacio vectoriales de dimensi´
on finita.

Base de un espacio vectorial: Dado un espacio vectorial, V , de dimensi´
on finita,
dim(V ) = n, una base para V es cualquier conjunto de n vectores linealmente
independientes en V .
Ejemplo: En R3 , ˆı, ˆ, kˆ son linealemnteindependientes y forman base. La
dimensi´
on de R3 es 3. En el espacio vectorial, V , de polinomios reales de grado n,
en x, los polinomios 1, x, x2 , . . . , xn , son linealmente independientes. Este espacio
vectorial V tiene dimension n.
PRODUCTO INTERNO, Y ESPACIOS EUCLIDEOS:
Dado un espacio vectorial, V , sobre los complejos, definiremos producto interno
sobre V a la aplicaci´on:
(3)

( , ):V ×V→C

que satisface las siguientes propiedades:

i) ( , ) es lineal en el segundo argumento, i.e.,
(x, αy + βz) = α(x, y) + β(x, z),
para todo α, β ∈ C, y todo x, y, z ∈ V .
ii) (x, y) = (y, x), para todo x, y ∈ V .
iii) (x, x) ≥ 0, para todo x ∈ V , y
iv) (x, x) = 0 si y solo si x = 0.
Se llama Espacio Euclideo a todo espacio lineal de dimensi´
on finita provisto de
producto interno.
n
Ejemplo: V= C3 , con el producto interno, (x, y) =
i=1 xi yi es un espacio
euclideo (verifique que el producto inteno as´ı definido satisface las propiedades
requeridas).

3

La Desigualdad de Schwarz: Si V es un espacio euclideo sobre los complejos, con
producto interno ( , ) entonces se tiene
2

(4)

|(x, y)| ≤ (x, x)(y, y),

para todo x, y ∈ V .
Demostraci´
on:

Figure 1. Desigualdad de SchwarzConsideremos el vector x − αy de la figura y consideremos el largo de ese vector
como funci´
on de α. Intuitivamente (ver figura), el largo de dicho vector es m´ınimo
cuando x − αy es perpendicular a y. Usaremos precisamente esta intuici´
on para
demostrar la desigualdad de Schwarz. Calculemos pues,
(5)

2

0 ≤ (x − αy, x − αy) = (x, x) − α(y, x) − α(x, y) + |α| (y, y).

La desigualdad de Schwarz...