Clase15
Páginas: 5 (1080 palabras)
Publicado: 18 de agosto de 2015
MATEMÁTICA BÁSICA MAT-003
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS
CCBB - VIÑA DEL MAR
CÁTEDRA 11
CCBB
1 / -12VIÑ
Función Logaritmo
Dado que la función exponencial
expa
x
:
R ! R+
ax
es biyectiva, entonces existe su inversa, la que se denomina función
logaritmo.
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
2 / -12VIÑ
Función Logaritmo
De…nition
La función logaritmo en base ase de…ne como:
loga
x
:
R+ ! R
loga (x )
donde
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
y = loga (x ) , x = ay
CÁTEDRA 11
CCBB
3 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un número real positivo distinto de 1, entonces:
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
log a (x )
= x
CÁTEDRA 11
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un númeroreal positivo distinto de 1, entonces:
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
2
log a (x )
= x
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
Para x 2 R+ , y 2 R+
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un número real positivo distinto de 1, entonces:
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
2
log a (x )
Para x 2 R+ , y 2 R+
= x
loga (xy ) = loga (x ) + loga (y )UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
ejemplo: log4 (10) = log4 (5) + log4 (2)
CÁTEDRA 11
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un número real positivo distinto de 1, entonces:
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
2
log a (x )
= x
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
Para x 2 R+ , y 2 R+
loga (xy ) = loga (x ) + loga (y ) ejemplo: log4 (10) = log4 (5) + log4 (2)
x
5
loga ( ) = loga(x ) loga (y ) ejemplo: log4 ( ) = log4 (5) log4 (6)
y
6
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un número real positivo distinto de 1, entonces:
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
2
log a (x )
= x
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
Para x 2 R+ , y 2 R+
loga (xy ) = loga (x ) + loga (y ) ejemplo: log4 (10) = log4 (5) + log4 (2)
x
5
loga ( ) = loga (x )loga (y ) ejemplo: log4 ( ) = log4 (5) log4 (6)
y
6
loga (x r ) = r loga (x )
ejemplo: log5 (32 ) = 2 log5 (3)
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un número real positivo distinto de 1, entonces:
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
2
log a (x )
= x
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
Para x 2 R+ , y 2 R+
loga (xy ) = loga (x ) + loga (y ) ejemplo:log4 (10) = log4 (5) + log4 (2)
x
5
loga ( ) = loga (x ) loga (y ) ejemplo: log4 ( ) = log4 (5) log4 (6)
y
6
loga (x r ) = r loga (x )
ejemplo: log5 (32 ) = 2 log5 (3)
logc (b )
loga (b ) =
cambio de base ejemplo:
logc (a)
log10 (1000)
3
log100 (1000) =
=
log10 (100)
2
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo
De…nition
Si la base es el número real e
logaritmonatural
y se escribe
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
2. 718 3, la función logaritmo se denomina
ln(x )
CÁTEDRA 11
CCBB
5 / -12VIÑ
Función Logaritmo
A continuación podemos observar la grá…ca de la función exponencial y su
función inversa, el logaritmo natural:
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
6 / -12VIÑ
Función Logaritmo
Si a > 1 la función loga (x ) es creciente
y = log2 (x )
yUNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
4
2
0
1
2
3
4
5
x
-2
-4
CÁTEDRA 11
CCBB
7 / -12VIÑ
Función Logaritmo
Si 0 < a < 1 la función loga (x ) es decreciente
y = log 1 (x )
2
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
y
4
2
0
1
2
3
4
5
x
-2
-4
CÁTEDRA 11
CCBB
8 / -12VIÑ
Función Logaritmo
log2 32
log4 8
log27 ( 19 )
log 1 (8)
2
log 1
3
1
81
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
9 / -12VIÑ
FunciónLogaritmo, ejercicios
1
e3
2x
=4
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
10 / -12VIÑ
Función Logaritmo, ejercicios
1
2
e3
2x
=4
log [(x + 2)(x
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
1)] = 1
CÁTEDRA 11
CCBB
10 / -12VIÑ
Función Logaritmo, ejercicios
1
2
3
e3
2x
=4
log [(x + 2)(x 1)] = 1
log3 (x + 1) log3 (x 1) = 1
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
10 / -12VIÑ
Función Logaritmo,...
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS
CCBB - VIÑA DEL MAR
CÁTEDRA 11
CCBB
1 / -12VIÑ
Función Logaritmo
Dado que la función exponencial
expa
x
:
R ! R+
ax
es biyectiva, entonces existe su inversa, la que se denomina función
logaritmo.
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
2 / -12VIÑ
Función Logaritmo
De…nition
La función logaritmo en base ase de…ne como:
loga
x
:
R+ ! R
loga (x )
donde
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
y = loga (x ) , x = ay
CÁTEDRA 11
CCBB
3 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un número real positivo distinto de 1, entonces:
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
log a (x )
= x
CÁTEDRA 11
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un númeroreal positivo distinto de 1, entonces:
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
2
log a (x )
= x
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
Para x 2 R+ , y 2 R+
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un número real positivo distinto de 1, entonces:
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
2
log a (x )
Para x 2 R+ , y 2 R+
= x
loga (xy ) = loga (x ) + loga (y )UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
ejemplo: log4 (10) = log4 (5) + log4 (2)
CÁTEDRA 11
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un número real positivo distinto de 1, entonces:
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
2
log a (x )
= x
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
Para x 2 R+ , y 2 R+
loga (xy ) = loga (x ) + loga (y ) ejemplo: log4 (10) = log4 (5) + log4 (2)
x
5
loga ( ) = loga(x ) loga (y ) ejemplo: log4 ( ) = log4 (5) log4 (6)
y
6
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un número real positivo distinto de 1, entonces:
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
2
log a (x )
= x
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
Para x 2 R+ , y 2 R+
loga (xy ) = loga (x ) + loga (y ) ejemplo: log4 (10) = log4 (5) + log4 (2)
x
5
loga ( ) = loga (x )loga (y ) ejemplo: log4 ( ) = log4 (5) log4 (6)
y
6
loga (x r ) = r loga (x )
ejemplo: log5 (32 ) = 2 log5 (3)
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo Propiedades
1
Sea a un número real positivo distinto de 1, entonces:
loga a = 1 y
x
loga (a ) = x
a
2
log a (x )
= x
loga 1 = 0
x 2R
x 2 R+
Para x 2 R+ , y 2 R+
loga (xy ) = loga (x ) + loga (y ) ejemplo:log4 (10) = log4 (5) + log4 (2)
x
5
loga ( ) = loga (x ) loga (y ) ejemplo: log4 ( ) = log4 (5) log4 (6)
y
6
loga (x r ) = r loga (x )
ejemplo: log5 (32 ) = 2 log5 (3)
logc (b )
loga (b ) =
cambio de base ejemplo:
logc (a)
log10 (1000)
3
log100 (1000) =
=
log10 (100)
2
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
4 / -12VIÑ
Función Logaritmo
De…nition
Si la base es el número real e
logaritmonatural
y se escribe
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
2. 718 3, la función logaritmo se denomina
ln(x )
CÁTEDRA 11
CCBB
5 / -12VIÑ
Función Logaritmo
A continuación podemos observar la grá…ca de la función exponencial y su
función inversa, el logaritmo natural:
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
6 / -12VIÑ
Función Logaritmo
Si a > 1 la función loga (x ) es creciente
y = log2 (x )
yUNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
4
2
0
1
2
3
4
5
x
-2
-4
CÁTEDRA 11
CCBB
7 / -12VIÑ
Función Logaritmo
Si 0 < a < 1 la función loga (x ) es decreciente
y = log 1 (x )
2
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
y
4
2
0
1
2
3
4
5
x
-2
-4
CÁTEDRA 11
CCBB
8 / -12VIÑ
Función Logaritmo
log2 32
log4 8
log27 ( 19 )
log 1 (8)
2
log 1
3
1
81
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
9 / -12VIÑ
FunciónLogaritmo, ejercicios
1
e3
2x
=4
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
10 / -12VIÑ
Función Logaritmo, ejercicios
1
2
e3
2x
=4
log [(x + 2)(x
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
1)] = 1
CÁTEDRA 11
CCBB
10 / -12VIÑ
Función Logaritmo, ejercicios
1
2
3
e3
2x
=4
log [(x + 2)(x 1)] = 1
log3 (x + 1) log3 (x 1) = 1
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS,
CÁTEDRA 11
CCBB
10 / -12VIÑ
Función Logaritmo,...
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