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Capítulo 3

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
Nos proponemos ahora el objetivo de estudiar las funciones complejas definidas en subconjuntos del plano complejo provisto de la distancia euclídea. Veremos cómo muchas de las ideas conocidas para funciones de variable real pueden ser extendidas a C. Por ejemplo, queremos aquí llegar a definir límite y derivada de funciones complejas, y visualizarmétodos de cálculo. Presentaremos también un concepto más fuerte que el de la derivabilidad: el de la analiticidad, que es clave en la teoría de variables complejas. 1. Preliminares

Suponemos conocido el concepto de función entre dos conjuntos cualesquiera. Sin embargo, precisaremos ahora alguna notación y ciertas propiedades de las funciones que nos resultarán de utilidad en lo sucesivo. Si f es unafunción de X en Y , A ⊂ X y B ⊂ Y , denotamos por f (A) al conjunto de todos los elementos de Y que son imagen por f de algún elemento de A, y por f −1 (B) al conjunto de todos los elementos de X cuya imagen por f pertenece a B. Formalmente: f (A) = {y ∈ Y : ∃x ∈ A : y = f (x)} f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}

Sea f una función de X en Y , A y E subconjuntos de X, B y F subconjuntos de Y , {Ak}k∈Λ una familia de subconjuntos de X, {Bk }k∈Λ una familia de subconjuntos de Y . Se satisfacen las siguientes propiedades: 1. A ⊂ E ⇒ f (A) ⊂ f (E) 2. B ⊂ F ⇒ f −1 (B) ⊂ f −1 (F ) 3. Si f es inyectiva, f (X − A) ⊂ Y − f (A). Si f es sobreyectiva, f (X − A) ⊃ Y − f (A). Luego, para f biyectiva, es f (X − A) = Y − f (A). 4. f −1 (Y − B) = X − f −1 (B) 5. f (f −1 (B)) ⊂ B (si f es sobreyectiva, valela igualdad). 6. A ⊂ f −1 (f (A)) (si f es inyectiva, vale la igualdad). 7. f k∈Λ Ak = k∈Λ f (Ak ) 8. f k∈Λ Ak ⊂ k∈Λ f (Ak ) (si f es inyectiva, vale la igualdad). −1 −1 9. f (Bk ) k∈Λ Bk = k∈Λ f −1 −1 10. f (Bk ) k∈Λ Bk = k∈Λ f Si f : X → Y y S ⊂ X, se define la restricción de f a S como la función g : S → Y tal que g(x) = f (x) para todo x ∈ S. Una notación habitual para la función restringidaes f |S , aunque haciendo abuso de notación, también suele usarse el mismo nombre f . 2. Función compleja de variable compleja

Una función compleja de variable compleja es una función f que va de un subconjunto D (no vacío) de los números complejos a los números complejos. Es común llamar z a la variable independiente y w = f (z) a la dependiente. Simbólicamente: f :D⊂C → C z → w = f (z)
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3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

El conjunto D se llama dominio de definición de f . Adoptaremos la convención de que si D no está explícitamente especificado, se sobreentiende que es el más grande subconjunto de C para el cual la expresión que corresponde a f (z) está definida. Es usual considerar expresados a z y w en su forma binómica, digamos z = x+iy y w = u+iv (con x, y, u, v ∈ R).En general, las partes real e imaginaria de w dependerán tanto de x como de y, y para obtenerlas habrá que reemplazar a z por x + iy en la expresión que define a f (z) en términos de z, y operar hasta que quede claro cuáles son u y v reales en términos de x e y. Ejemplo 3.1. Si f (z) = z −1 , para obtener u y v en general, hacemos w = f (z) = de donde surge que u(x, y) = x2 y 1 x + iy x 1 +i 2 = = 2z x − iy x + iy x + y2 x + y2 v(x, y) = x2 y ∈R + y2

x ∈R + y2

ambas definidas para todo vector no nulo de R2 . Dada una función compleja f , siempre podemos obtener la función parte real u : D ⊂ R → R y la función parte imaginaria v : D ⊂ R2 → R. Recíprocamente, cualquier par de funciones reales de dos variables u(x, y) y v(x, y) con dominio D ⊂ R2 define una función f (z) = f (x + iy) =u(x, y) + iv(x, y) en el mismo dominio D (visto como subconjunto de C). Para cualquier función compleja f , el conocimiento de las funciones de parte real e imaginaria u y v será importante en el estudio de las propiedades de f (a título de ejemplo, nótese que f está definida en x0 + iy0 si, y sólo si, u y v están definidas en (x0 , y0 )). Por eso es esencial saber encontrarlas. A continuación...