Concepto basicos de geometria analitica

Tres conceptos básicos de la geometría analítica
Enviado por jmd el 14 de Enero de 2011 - 19:26.

Este post introduce los conceptos más básicos de la geometría analítica: distancia entre dos puntos, pendiente de una recta y coordenadas del punto medio. Supone que el lector ya conoce las reglas de representación de puntos en el plano cartesiano de coordenadas.
Parecería fácil elaborar unapresentación elemental de la geometría analítica (para bachillerato) por un profesor que la ha estudiado al menos en algún curso universitario. Y lo es, pero hay que pensarle un rato (digamos unos dos o tres días...).  
 
En estos días en que nos llegó el frío y la llovizna, iba a poner un problema de geometría a resolver con geometría analítica. Pero luego me dije: pero en MaTeTaM no se ha abordadoel tema de geometría analítica.... Entonces me puse a elaborar un post introductorio que incluyera los conceptos básicos. De acuerdo a los estándares de MaTeTaM debería estar orientado conceptualmente. La primera pregunta que me hice fue ¿cuáles son los conceptos básicos? Y llegué a la conclusión de que
 
Los conceptos más básicos de la geometría analítica
*  Distancia entre dos puntos* Pendiente de una recta
* Coordenadas del punto medio
 Creo que aprendiendo estos conceptos y sus modos de uso ya se puede entrar al problem solving en geometría de coordenadas, y seguir aprendiendo sobre la marcha otros más, con los cuales se podrán resolver problemas cada vez más difíciles.
 
La fórmula de distancia entre dos puntos se deriva directamente del Teorema de Pitágoras. Lapendiente de una recta es una definición de una de sus características (está asociada con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje ). La fórmula del punto medio se puede ver ya como un teorema cuya demostración (una de ellas) se basa en los conceptos de pendiente y distancia entre dos puntos. (La ecuación de una recta --no abordada en este post-- se puede ver como la descripciónalgebraica de la recta en un sistema cartesiano de coordenadas. 
 
Los conocimientos previos requeridos para aprender estos tres conceptos son: Teorema de Pitágoras (para distancia), Teorema de Tales (para pendiente), Congruencia de triángulos (para punto medio), y pues también la representación de puntos vía coordenadas en un sistema cartesiano de ejes rectangulares (el sistema usual).
 
Distanciaentre dos puntos
 La siguiente figura debería ser suficiente para que el lector se apropie de la idea de la demostración de la fórmula de distancia entre dos puntos:
 
| |
 

 
Comentemos, de paso, que en la lectura de la figura es obligatorio saber el concepto de coordenadas de un punto. Por ejemplo, tiene coordenadas porque está sobre la vertical que pasa por (con abscisa ) y por lahorizontal que pasa por (con ordenada ).
 
Aclaro también que, en la figura, se refiere al valor absoluto de la diferencia (), es decir, a la distancia entre las dos alturas y . De hecho, la apelación al valor absoluto no es necesaria aquí como se ve en el lema que se presenta abajo... pero ya había hecho la figura...
 
 
Pendiente de una recta
 

 
Aparte de su interpretación usual como razónde cambio de la altura respecto al desplazamiento horizontal, la pendiente se
puede ver también como la tangente (en el sentido trigonométrico) del ángulo que forma la recta con el eje . En la figura, tal ángulo es el . Notemos que la pendiente puede ser negativa, en cuyo caso la recta baja de izquierda a derecha. Si atendemos a los ejes en la figura, y , se manera que . En el cálculo de seestán considerando los signos de las coordenadas de los puntos.
 
Notemos también que si la recta es vertical la fórmula da una indeterminación pues se tendría una división entre cero. En ese caso se dice que la pendiente es infinita. Si, por otro lado, la recta es horizontal, su pendiente es cero.
 
Coordenadas del punto medio de un segmento
 Lema: El promedio de dos números está exactamente a...