Cond Bayes

PROBABILIDAD CONDICIONAL,
MARGINAL Y CONJUNTA.
INDEPENDENCIA DE EVENTOS.
PROBABILIDAD TOTAL Y
TEOREMA DE BAYES.

B E R N A R D O F R O N TA N A D E L A C R U Z
MARCO ANTONIO GÓMEZ RAMÍREZ
ENERO DE 2012.

PROBABILIDAD CONDICIONAL
Como su nombre lo indica se trata de determinar la
probabilidad de que ocurra un evento A (aposteriori)
dado que ya aconteció un evento B (apriori), y se
representamediante P(A|B), se lee probabilidad de A
dado B o probabilidad de A condicionada a B.
En la probabilidad condicional,
consideramos que de un
espacio muestral S se conoce
únicamente el evento B, que
constituye un espacio muestral
reducido.

S

Se desea saber la posibilidad de que exista el
evento A.

B

Como únicamente
conocemos el evento B, la
probabilidad de que exista
A está dada por la posibleintersección del evento A
con el evento B.

S

B

A

Por lo tanto la expresión para la probabilidad
condicional quedaría P(A|B)=n(A∩B)/n(B), donde n(A∩B)
es el número de elementos en la intersección de A con
B y n(B) es el número de elementos en el evento B.
Si el numerador y el denominador se dividen entre n(s)
que es el número de elementos en el espacio muestral
y aplicamos el concepto deprobabilidad, tenemos:
P(A|B)=[n(A∩B)/n(S)]/[n(B)/n(S)]= P(A∩B)/P(B).

De la última expresión P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B) es la
probabilidad del evento condición o del evento que se
presenta primero .
De manera similar se puede pedir la probabilidad del
evento B dado que ya ocurrió el evento A P(B|
A)=P(A∩B)/P(A), ahora P(A) es la probabilidad del
evento condición o del que se presenta primero .
Ejemplo: Alarrojar dos dados resultan caras iguales,
¿cuál es la probabilidad de que sumen ocho?
Identificamos los eventos dentro del espacio muestral:
A={caras iguales}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
B={sumen más de ocho}={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),
(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
n(A)=6, n(B)=10 y n(A∩B)=2, aplicando la expresión P(B|
A)=n(A∩B)/n(A)=2/6=1/3=0.333

PROBABILIDAD CONJUNTA
Es laprobabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.

De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar
P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de
multiplicación de probabilidades.

P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y
corresponde a la probabilidad de que se presenten
resultados comunes a los eventos A y B.
Ejemplo: Al arrojar una moneda desequilibrada al aire,
P(A)=1/3 y P(S)=2/3, endos ocasiones, ¿cuál es la
probabilidad de que en las dos ocasiones sea águila.

Auxiliándonos
de un diagrama
de árbol.

A
S

A1
S1

⅓

⅔

A
S

A
S

A2

⅓

S2

⅔

A2

⅓

S2

⅔

P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=
P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9

PROBABILIDAD MARGINAL
Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este
tipo de probabilidades, se realizará un ejemplo.
En un taller mecánico tienen un total de 135desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos
características cuando se los piden a sus ayudantes,
su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que
embona en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo
a la definición de eventos que sigue, la distribución es
la siguiente:
Evento Característic
s
a
A1

Largo

Event
o

A1

A2 Tot
al

A2

Corto

B1

40 60

100

B1

Punta plana

B2

15 20

35B

Punta de Cruz

Para determinar una probabilidad conjunta, digamos
desatornilladores cortos con punta plana, de acuerdo
con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se obtuvo
de dividir el número de desatornilladores cortos y que
tienen punta plana, en términos de conjuntos,
n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los desatornilladores
del taller, ns=135.
Generalizando se obtiene la probabilidadconjunta de
dos eventos con la expresión siguiente: P(Ai∩Bj)=nij/ns
Donde i=1, 2, 3,…n y j=1, 2, 3,…n
Considérese que únicamente nos interesa conocer la
probabilidad de los eventos Bj, por ejemplo de B1,
P(B1)=(n11+n21)/ns=(40+60)/135=100/135=0.74 Se observa
que el subíndice correspondiente al evento B
permanece constante en la suma del numerador n11+n21.

Generalizando, la probabilidad...