Condiciones necesarias de segundo orden

Condiciones necesarias de segundo orden.
La ecuación de Euler proporciona una condición necesaria de optimalidad que tiene que cumplir los máximos y mínimos locales. Dicha ecuación la obtenemos dela demostración del teorema 2.1 que dice lo siguiente:


.
A partir de la primera derivada de una función de la variable. A continuación nos vamos a apoyar en la segunda derivada de la misma funciónde, para obtener las condiciones de Lagendre, que es una condición necesaria de optimalidad local en el cálculo de variaciones, y que permite distinguir entre candidatos a máximos y candidatos amínimos.
A continuación se estudia un lema, que se utiliza posteriormente en la demostración del teorema 2.2 que nos da las condiciones de Lagendre.
Lema 2.2 Sea funciones continuas dadas en , y sea elfuncional cuadrático:

Definido para todas las funciones con derivadas continuas en tales que

Una condición necesaria para que el funcional dado sea menor o igual que cero, para todas las funcionesque verifiquen las hipótesis dadas, es que para todo .

DEMOSTRACIÓN. Por reducción al absurdo.
Supongamos que existen , tal que . En tal caso, por ser continua, existirá punto interior a , tal que.
Sea , tal que .
Por ser continua, existirá una verificando:

Tal como se refleja en la siguiente figura.





Fijada dicha función , se considera ahora la siguiente función :

Sea:

La derivadade la función es:

Para las funciones que estamos considerando, el funcional cuadrático del enunciado tomara el siguiente valor:

Analicemos cada uno de los dos sumandos del segundo miembro:
1) Porser , resulta que:

Pero

En donde
2) Por otra parte, al ser la función continua , existen , tal que , para todo .
Por ser , para todo , resulta que

Por tanto:

Queda finalmente que:

PeroPodemos elegir , tal que verifique dicha condición, con lo cual el funcional dado toma un valor positivo, en contra de la hipótesis del enunciado. Con ello quedamos demostrado el lema.
A continuación...