Conjuntos Y Números.

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CONJUNTOS Y NUMEROS.
Curso 2012-2013.
HOJA 1: Clases de n´ meros. L´gica, pruebas por inducci´n. Conjuntos y funciones.
u
o
o
a
a
a
1) Decir cu´les de las siguientes condiciones son necesarias, cu´les son suficientes y cu´les son necesarias
y suficientes para que un n´mero natural n sea divisible por 6.
u
(a) n es divisible por 3;
(c) n = 24;
(e) n es par y divisible por 3;
(b) nes divisible por 12;
(d) n2 es divisible por 6;
(f) n es par o divisible por 3.
¿Es posible colocar las seis en este esquema, de modo que todas las implicaciones sean ciertas?
(

) ⇒ (

) ⇒ (

) ⇔ (

) ⇒ (

) ⇒ (

)

¿Puede hacerse eso de m´s de una manera? ¿Se cumple alguna otra implicaci´n?
a
o
2) En las siguientes proposiciones, x, y son n´meros reales. Traduce cada una afrases que no contengan
u
ning´n s´
u ımbolo, s´lo palabras. Explica cu´les son ciertas y escribe la negaci´n de las que no lo sean.
o
a
o
(a) ∀x ( x > 0 ⇒ ∃y : (y > 0) ∧ (y 2 = x) )
(c) ∃x : (1 < x2 ) ∧ (x2 < x)
(b) ∃x : ∀y ( (y < x) ∨ (y > 5) )
(d) ∀y ∃x : (x ∈ R) ∧ (x3 = y + 1)
3) Traduce cada una de las siguientes afirmaciones a sentencias que usen s´
ımbolos y cuantificadores, y
nocontengan palabras.
(a) No siempre hay un n´mero entero entre la ra´ cuadrada de n y la de n + 4 .
u
ız
(b) Todo n´mero real positivo tiene dos ra´
u
ıces cuartas reales y distintas.
4) Razona con palabras por qu´ no son equivalentes las afirmaciones de cada uno de los siguientes pares
e
(en las que x, y ∈ R), y explica cu´les de ellas son ciertas.
a
(a)
∀x ∃y : (x = 2y ∨ x = 2y + 1)no equivale a
∃x : ∀y (x = 2y ∨ x = 2y + 1) .
(b)
∃x : ∀y (x < y ∧ y < x + 2)
no equivale a
∀x ∃y : (x < y ∧ y < x + 2) .
5) Explica por qu´ son equivalentes las dos proposiciones:
e
S ∧ R , ¬(S ⇒ ¬R) , ilustrando la
explicaci´n con un diagrama de Venn. Conf´
o
ırmalo con la tabla de verdad de cada una de ellas.
Haz lo mismo con las proposiciones: S ∨ (¬R) ⇒ T , (¬T ) ⇒ (¬S) ∧ R .
6)Halla expresiones para las siguientes sumas, y pr´ebalas por inducci´n:
u
o
(i) la suma de los n primeros n´meros naturales:
u
0 + 1 + 2 + · · · + (n − 1) ;
(ii) la suma de los n primeros t´rminos de la progresi´n aritm´tica: a + kd, k = 0, 1, . . . , n − 1 ;
e
o
e
0 + r 1 + · · · + r n−1 ;
(iii) la suma de las n primeras potencias de r:
r
(iv) la suma de los n primeros t´rminos de laprogresi´n geom´trica: crk , k = 0, 1, . . . , n − 1 ;
e
o
e
(v) la suma de los ´ngulos de un pol´
a
ıgono de n lados.
Indicaci´n: recuerda que los ´ngulos de un tri´ngulo suman π radianes.
o
a
a
7) Demuestra por inducci´n sobre n ∈ N las afirmaciones siguientes:
o
n(n + 1)(2n + 1)
1
1
1
n
(a) 12 + 22 + · · · + n2 =
; (b)
+
+ ··· +
=
, si n ≥ 1.
6
1·2 2·3
n · (n + 1)
n+1(c) 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1 ;
(d) 2n > 1 + 2n , si n > 2 ;
1
1
13
1
+
+ ··· +
>
, si n ≥ 2 .
(e) 2n > n2 + 1 , si n > 4 ;
(f)
n+1 n+2
2n
24
8) Prueba, para todo n ∈ N, que los n´meros:
u
an = 4n − 1 , bn = 7n − 4n son divisibles por 3;
9) Demuestra, para todo n ∈ N , la igualdad:

cn = 4n + 6n − 1 es divisible por 9.
2

n

n+1

(1+q)(1+q 2 )(1+q2 ) · · · (1+q 2 ) = (q 2

−1)/(q−1).

10) Probar que todo n´mero natural mayor que 1, es igual a alg´n producto de n´meros primos.
u
u
u
Deducir que hay infinitos primos. Es decir, que hay m´s de n primos distintos, para todo n ∈ N.
a
u
u
11) Se llama cuadrado a un n´mero de la forma a2 , donde a es un n´mero natural.
Demuestra que si un natural n > 0 es un cuadrado, n + 1 no puedeser tambi´n un cuadrado.
e
¿Puede haber racionales r, s, que cumplan: r2 = s2 + 1 > 1 ? ¿Puede ser entero uno de ellos?

12) Usando la definici´n del logaritmo en base b : logb (x) = a ⇔ x = ba y la de ‘log(x) = ln(x)’ ,
o
que es el logaritmo en base e (llamado natural o neperiano), prueba que para cada x > 0 se tiene:
log(x) = log(10) log10 (x) = log(2) log2 (x) ; log10 (x) = log10 (2)...