Construcciones

Construcciones con regla y comp´as
Juan Sabia

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Introducci´
on

La idea de esta clase es ver qu´e construcciones geom´etricas pueden hacerse con el uso de
una regla no graduada (sin marcas), de un comp´as, de un l´apiz y una hoja. Esta forma de
construir figuras geom´etricas la heredamos de los griegos, que relacionaban la geometr´ıa
con la perfecci´on y la religi´on. Todos estamosacostumbrados a que en el colegio primario
se ense˜
ne a trazar la bisectriz de un ´angulo, la mediatriz de un segmento y a construir
tri´angulos con regla y comp´as. La pregunta es qu´e otras construcciones se pueden hacer.
Los griegos ya tenan planteadas tres preguntas (que hoy se consideran cl´asicas):
• ¿Se puede trisecar un ´angulo usando s´olo regla y comp´as?
• ¿Se puede duplicar un cubo usando s´oloregla y comp´as? (es decir, si tenemos un
modelo plano de seis cuadrados para construir un cubo de volumen v, ¿se puede
construir un modelo plano para construir un cubo de volumen 2v s´
olo usando regla
y comp´as?)
• ¿Se puede cuadrar un c´ırculo con regla y comp´as? (es decir, dado un c´ırculo, ¿se
puede dibujar un cuadrado de su misma superficie usando s´olo regla y comp´as?)
Otra pregunta quepuede formularse es:
• ¿Cu´ales pol´ıgonos regulares pueden construirse usando regla y comp´as?
Vamos a intentar dar respuesta a algunas de estas preguntas (otras se escapan al contenido
del curso).

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Reglas y ejemplo

Lo primero que vamos a fijar son las reglas para dibujar con regla y comp´as. Partimos de
un conjunto dado de puntos en el plano. Las construcciones que pueden hacerse son:
• Sepuede dibujar la recta que pasa por dos puntos dados.
• Se puede trazar la circunferencia que tiene centro en un punto dado y cuyo radio sea
la distancia entre dos puntos dados.

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• Las intersecciones de rectas o circunferencias que se puedan dibujar se consideran
puntos que pueden usarse para seguir dibujando.
En general, para simplificar la cuesti´on, vamos a considerar que partimos de s´olodos
puntos. Un punto se dir´a construible si se puede construir en un n´
umero finito de pasos
a partir de estos dos puntos.
Ejemplo:
Marcamos primero los dos puntos A y B en el plano:

Podemos trazar la recta que une los dos puntos marcados, o cualquier circunferencia que
tenga por centro uno de los puntos y radio la distancia entre dos puntos marcados. Todas
las construcciones posibles ser´ıan:Con nuestra construcci´on aparecieron cuatro nuevos puntos (C, D, E y F) que podemos
usar para seguir dibujando:

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Por ejemplo, podemos trazar la circunferencia con centro E y radio igual a la distancia
entre A y E, y obtenemos los puntos G y H:

De paso demostramos que algunos pol´ıgonos regulares son construibles con regla y comp´as:
el hex´agono

y el tri´angulo

y como sabemos bisecar´angulos, podemos construir cualquier pol´ıgono regular que tenga
2n .3 lados para n natural.
Hay dos construcciones b´asicas que sabemos hacer con regla y comp´as que vamos a usar
y no vamos a detallar:
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• Dados tres puntos A, B, y C, trazar la perpendicular por C a la recta que pasa por
A y B.
• Dados tres puntos A, B, y C, trazar la paralela por C a la recta que pasa por A y
B.
Dados A y B, podemospensarlos como los puntos (0, 0) y (1, 0) del plano y, por las
construcciones b´asicas anteriores, podemos trazar los ejes cartesianos utilizando s´olamente
regla y comp´as.

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Coordenadas

La noci´on de punto construible ahora significar´a “construible a √
partir del √(0, 0) y del
1
(1, 0)”. Por ejemplo, en la secci´on anterior, vimos que los puntos ( 2 , 23 ), (− 12 , 23 ), (−1, 0),
√

√

(− 12, − 23 ) y ( 12 , − 23 ) (que, junto al (1, 0) son los v´ertices del hex´agono regular inscripto
en la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1) son construibles.
Lema: Un punto (x, y) es construible si y s´olo si los puntos (x, 0) e (y, 0) son construibles.
Demostraci´
on:
⇒) Si el punto (x, y) es construible, proyect´
andolo sobre los ejes, obtenemos (x, 0) y (0, y).
Con el comp´as, a...