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Tema 2. Proceso de Bernoulli
Febrero 2006

1.

Sumas de Variables Aleatorias Independientes

Definici´
on Se considera el experimento aleatorio consistente en la repetici´on de juegos
binarios independientes. El resultado de cada realizaci´on ser´a un elemento de Ω siendo
= {ω, ω = (ω1 , ω2 . . .) donde

Ω

ωi es A ´o A}

Para cada subconjunto de Ω (suceso) definimos la siguientemedida de probabilidad
P rob(ω1
siendo:

ω2 . . .)

=

P rob(ω1 ).P rob(ω2 ) . . .

P rob(A) = 1 − p = q

P rob(A) = p

P rob(AAAA) = p3 q

Por ejemplo:

donde se consideran las variables aleatorias independientes Bernoulli
Xi (A) = 1,
con

P rob(Xi = 1) = p,

(p):

Xi (A) = 0

P rob(Xi = 0) = 1 − p

∀i ∈ N

Definici´
on Proceso de Bernoulli. La sucesi´on aleatoria{Xn }n≥1 es Proceso Bernoulli
con probabilidad de ´exito p, si verifica:
1. X1 , X2 , . . .

son independientes e id´enticamente distribuidas (iid).

2. P (Xn = 1) = p,

P (Xn = 0) = q = 1 − p

∀n

Propiedades.
1. E[Xnr ] = p

∀n ≥ 1 y

∀r ≥ 1

2. V ar[Xn ] = E[Xn2 ] − E 2 [Xn ] = p − p2 = p.q
3. GXn (s) = E[S Xn ] = sp + q

∀s ≥ 0

Observaci´on: es proceso estrictamenteestacionario y
cov(Xn , Xs ) = E[Xn Xs ] − E[Xn ]E[Xs ] = 0
Proceso Sumas de Bernoulli Modeliza el n´
umero de ´exitos en n juegos de Bernoulli independientes:
1

Definici´
on:
Sn (ω) = X1 (ω) + . . . + Xn (ω)
n ≥ 1,
y S0 (ω) = 0
Sn+m − Sn = Xn+1 + Xn+2 + . . . + Xn+m
= n´
umero de ´exitos en los juegos n + 1, n + 2, . . . n + m
Observaci´
on. El proceso {Sn }n∈N es una cadena depar´ametro discreto.
Propiedades
1. E[Sn ] = np
2. V ar[Sn ] = npq
3. GSn (s) =

n
i=1

GX (s) = GnX (s) = (sp + q)n

Ejemplo de c´alculo de momentos:
GSn (1) = [n(sp + q)n−1 .p]s=1 = np(p + q)n−1 = np
GSn (1) = [n(n − 1)(sp + q)n−2 .p2 ]s=1
= n(n − 1)p2 (p + q)n−2
= n(n − 1)p2
entonces
E[Sn ] = GSn (1) = np
V ar[Sn ] = E[X 2 ] − E 2 [X]
= Gx (1) + G (1) − [G (1)]2
= n(n − 1)p2 +np − (np)2
= n2 p2 − np2 + np − n2 p2
= np(1 − p)
= npq
Proposici´
on:
∀n, k ∈ N

P (Sn+1 = k) = p.P (Sn = k − 1) + qP (Sn = k)

Demostraci´
on: Por el Teorema de Probabilidad Total.
P (Sn+1 = k) =

P (Sn+1 = k/Sn = j)P (Sn = j)
j∈N

P (Xn+1 = k − j)P (Sn = j)

=
j∈N

ya que:


 p si k = j + 1
q si k = j
P (Xn+1 = k − j) =

0 resto
= P (Xn+1 = 1).P (Sn = k − 1) +P (Xn+1 = 0).P (Sn = k)
= p.P (Sn = k − 1) + qP (Sn = k)
✷
2

Proposici´
on
∀n ∈ N

P (Sn = k) =

n!
pk q n−k
k!(n − k)!

∀k = 0, . . . , n

Demostraci´
on (por inducci´on completa)
n=0
n=1
n=2

k=0 k=1 k=2 k=3
1
0
0
0
q
p
0
0
2
2
q
2qp
p
0

supongamos que es cierta la f´ormula para m, veamos que es cierta para n = m + 1:
P (Sm+1 = 0) = q m+1
para 0 < k ≤m + 1, por la Proposici´on anterior, se tiene:
P (Sm+1 = k) = p.P (Sm = k − 1) + qP (Sm = k)
m!
m!
pk−1 q m−k+1 + q
pk q m−k
= p
(k − 1)!(m − k + 1)!
k!(m − k)!
m!
m!
=
pk q m−k+1 +
pk q m−k+1
(k − 1)!(m − k + 1)!
k!(m − k)!
m!
1
1
=
pk q m−k+1
+
(k − 1)!(m − k)!
m−k+1 k
m!(m + 1)
pk q m−k+1
=
(k − 1)!k(m − k)!(m − k + 1)
(m + 1)!
=
pk q m−k+1
✷
k!(m − k + 1)!Corolario
∀n, m ∈ N

P (Sn+m − Sm = k) =

n
k

pk q n−k ,

∀k = 0 . . . n

(ya que Sn+m − Sm = Xm+1 + Xm+2 + . . . + Xm+n ≡ suma de n variables aleatorias Bern(p)
independientes)
Ejemplo.
7
3

P (S16 − S9 = 3) =

p3 q 4 = 35p3 q 4

Para hallar probabilidades conjuntas del tipo:
P (Sn1 = s1 , Sn2 = s2 , Sn3 = s3 )
establecemos el siguiente resultado
Proposici´
on
∀n, m ∈ N
P(Sm+n − Sm = k/S0 , . . . Sm ) = P (Sm+n − Sm = k)
n
=
pk q n−k ,
∀k = 0, . . . , n
k
3

Demostraci´
on
S0 , . . . , Sm , est´an completamente determinadas por X1 , . . . , Xm y an´alogamente X1 , . . . , Xm
est´an determinados por S0 , . . . , Sm (generan la misma σ-´algebra de sucesos), entonces:
P (Sm+n − Sm = k/S0 . . . Sm ) =
=
=
=
=

P (Sm+n − Sm = k/X1 . . . Xm )
P...